Обчислення визначників застосуванням метода Гауса

Одновременно с решением системы линейных алгебраических уравнений

можно вычислить определитель матрицы А. Пусть в процессе исключения найдено распожение т.е. построены матрицы L и U. Тогда

и, таким образом, произведение диагональных елементов матрицы L (ведущих, главных елементов метода исключения) равно определителю матрицы РА. Поскольку матрицы РА и А отличаются только перестановкой строк, определитель матрицы РА может отличаться от определителей матрицы А только знаком. А именно,

Таким образом, для вычисления определителя необходимо знать, сколько перестановок было осуществлено в процессе сключения.

Если матрица А выроджена, то при использовании метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу на некотором шаге исключения К все элементы которого столбца, находящиеся ниже главной диагонали и на ней, окажутся равными нулю.При этом дальнейшее исключение становится невозможным и программа должна выдать информацию о том, что определитель матрицы равен нулю. ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ.

Нахождение матрицы, обратной матрице А, еквивалентно решению матричного уравнения (1)

где Е - единичная матрица, X - искомая квадратная матрица.

Уравнение (1) можно записать в виде системы уравнений

(2)

где

Можно заметить, что система (2) распадается на m независимых систем уравнений с одной и той же матрицей А, но с различными правыми частями. Эти системы имеют

вид (фиксируем j):

(3)

где у вектора - столбца равна единице j-та компонента и равны нулю остальные компоненты.

Например, для матрицы второго порядка система (2) распадается на две независимые системы:

Рассмотрим применение метода Гаусса без выбора главного элемента. Поскольку все системы (3) имеют одну и ту же матрицу А, достаточно один раз совершить прямой ход метода Гаусса, т.е. получить разложение A=LU и запомнить матрицы L i U.

Обратный ход осуществляется путем решения систем уравнений

с треугольными матрицами L è U.

При осуществлении обратного хода можно сократить число действий, принимая во внимание специальный вид правых частей системы (4).

Запишем подробнее первые j-1 уравнений системы (4):

Учитывая невырожденность матрицы L (т.е.

отсюда получаем

При этом оставшиеся уравнения системы (4) имеют вид

Можно показать, что общее число действий умножения и деления, необходимое для обращения матрицы указанным способом, порядка . Тем самым обращение матрицы требует не намного больше времени, чем решение системы уравнений.