Квадратурні формули з рівновіддаленими вузлами: формула трапецій

Отрезок интегрирования [a,b] разбивается на n равных интервалов длиной . В пределах каждого интервала [xi,xi+1] функция f(x) заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени с узлами xi,xi+1, т.е. прямой линией. Значение интеграла в пределах [xi,xi+1] заменяется площадью трапеции:

.

Суммирование значений интеграла по всем n участкам разбиения дает общую площадь, т.е. приближенное значение интеграла:

.

Если функция f(x) имеет на отрезке [a,b] непрерывную вторую производную, то оценка погрешности усечения может быть осуществлена по формуле:

,

где , a£x£b.

19. Квадратурні формули з рівновіддаленими вузлами: формула парабол(Сімпсона)

Формула Симпсона получается из квадратурных формул Ньютона - Котеса при n=2, т.е. интерполяционный многочлен, которым заменяют подынтегральную функцию, многочлен второго порядка. При n=2 получаем

, , ,

получаем формулу Cимпсона

.

Формула носит название формулы Симпсона. Геометрически эта формула получается в результате замены кривой параболой , проходящей через точки: , , .

Погрешность формулы Симпсона равна

.

Применяя простую теорему о среднем для функции

на [a,b] получаем: , где . Кроме того, имеем: . Последовательно интегрируя и используя интегральную теорему о среднем, находим:

.

.

.

где . Таким образом, окончательно имеем

.

Из формулы видно, что она является точной для многочленов не только второй, но и третьей степени, т.е. формула Симпсона при относительно малом числе ординат обладает повышенной точностью.

Формула Симпсона также может быть применена не сразу ко всему отрезку, а к отдельным частям его. Если разобьем [a,b] на 2m равных частей шагом , то получим:

.

Формула называется обобщённой формулой Симпсона. Введём обозначения:

, .

Обобщённая формула Симпсона может быть записана в новых обозначениях так:

.