Інтерполяційний поліном Лагранжа. Побудова полінома Лагранжа для функції, значення якої подано таблицею

Для построения интерполяционного многочлена прямым методом необходимо предварительно решить систему линейных уравнений (2.16). Интерполяционная формула Лагранжа не требует решения системы уравнений (2.16). В общем виде полином Лагранжа можно представить формулой:

(2.17)

где - узлы интерполяционной сетки, - значения функции в узловых точках.

Каждый из слагаемых формулы (2.17), как нетрудно убедиться, является полиномом степени n, следовательно - также есть полином n-ой степени (как сумма многочленов n-ой степени). Структура формулы (2.17) построена таким образом, чтобы выполнялось условие , в чем нетрудно убедиться.

Если функция достаточно гладкая, т.е. имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)- порядка включительно, то погрешность интерполяции (остаточный член), определяемую формулой

,

можно оценить следующим образом:

, (2.18)

где

Полином Лагранжа полезен тем, что в явном виде содержит значение функции .