Загальна задача інтерполювання, Чебишевська система функцій

И так, в вычислительной практике часто приходится встречаться с заменой функций более простыми, близкими к данным функциям в каком - либо смысле, с тем, чтобы найти с достаточной степенью точности более быстро простое решение. Чаще всего в качестве приближающих функций берутся многочлены. Это связано с некоторыми свойствами многочленов в классе непрерывных функций:

1. Свойство полноты, которое выражается теоремой Вейерштрасса (1885г.)

Теорема. Если f(x) – непрерывная на конечном замкнутом промежутке [a,b] функция, то для любого ε > 0 существует такой многочлен P(x),что |f(x)-P(x)| при всех x Є [a,b].

2. Другое важное свойство многочленов – это функции простой природы. Чтобы вычислить многочлен, нужно исполнить конечное число арифметических операций.

Теорема Вейерштрасса указывает лишь на возможность приближения функции многочленами, но не даёт способа построения такого многочлена. Существуют различные способы приближения функции при помощи многочленов. Большое распространение в вычислительной практике получил способ интерполирования функций. Общая задача интерполирования заключается в построении функции, вообще говоря, отличной от данной y = f(x), которая может быть известна, но задана слишком сложным аналитическим выражением, или неизвестна и задана в виде таблицы значений. Построенная функция должна принимать в заданных точках те же значения, что и данная функция f(x). В этом определении сформулированы две задачи:

1. Построение для функции, имеющей аналитическое выражение, такой более простой функции, которая заменила бы данную в вычислениях.

2. Для функции, заданной таблицей, найти такую формулу, которая давала бы возможность находить значения функции для промежуточных значений аргумента.

Пусть на отрезке [a,b] заданы n+1 точек x0 x1 …, x n. Эти точки называются узлами интерполяции. И даны значения некоторой функции f(x) в этих точках

f(xi) = yi. (4.1)

Требуется построить функцию φ(x) (интерполирующая функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т.е.

φ(xi) = yi. (4.2)

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = φ(x), некоторого определённого типа, проходящую через заданную систему точек Mi (xi, yi), i=0,1,…,n.

Рис. 4.1

В такой общей постановке задача может иметь бесчисленное множество решений. Однако эта задача становится

однозначной, если в качестве приближающей функции искать многочлен степени не выше n, удовлетворяющий условиям (4.2). Полученную интерполяционную формулу y = φ(x) обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции f(x). При этом различают интерполирование в узком смысле, когда x Є [x0, xn], и экстраполирование, когда x<x0 или x>xn. В дальнейшем под термином «интерполирование» мы будем понимать как первую, так и вторую операции. Чебишевская система функций:

(1.4)

при (т.е. при любых несовпадающих узлах).

Систему функций, удовлетворяющую условию (1.4), называют чебышевской. Из различных систем функций наиболее распространены многочлены, хотя применяют также тригонометрические и экспоненциальные функции.