Промислове використання популяції

До цього часу ми розглядали одновидову популяцію карасів, яка розвивалася вільно: зовнішні фактори помітним чином не впливали на її чисельність. Припустимо тепер, що ми приймаємо рішення
виловлювати карасів з постійною абсолютною швидкістю, тобто за кожну одиницю часу вилучати з популяції однакову кількість риб.

Нехай с – абсолютна швидкість виловлювання, с ≥ 0. Параметр с характеризує дозволену швидкість вилову і зветься квотою (у даному випадку – абсолютною квотою). Цей параметр чисельно дорівнює кількості особин, що вилучаються з популяції за одиницю часу.

Тепер рівняння (6) необхідно переписати у вигляді

Δ N = (p – q·N) ·N· Δ t – c· Δ t

або

Δ N = ((p – q·N)· N – c)·Δ t. (8)

За аналогією з двома попередніми версіями згідно (3) маємо

N_і = N_{і- 1} + Δ N,

і замість (6) стає

N_і = N_{і– 1} + ((p – q·N_{і– 1}) N_{і– 1} – c) · Δ t (9)

Рівняння (8) і (3) або рівняння (9) являють собою найпростішу математичну модель вилову з постійною абсолютною квотою.

Зрозуміло, що, ведучи вилов, бажано не знищити популяцію. А чи можна вести його таким чином, щоб чисельність особин з часом не змінювалася? Питання можна перефразувати так: чи можна вести вилов у такий спосіб, щоб популяція залишалася в рівноважному стані?

Якщо це можливо, то значення параметра c не можуть бути
довільними, і ми опиняємося перед проблемою пошуку таких його значень, які б забезпечували рівновагу системи. Для цього, як ми вже бачили, приріст чисельності Δ N по рівнянню (8) має дорівнювати нулю (саме це і є умовою рівноваги):(p – q·N) ·N – c =0,

звідки

c = (p – q·N) ·N. (10)

За умови рівноваги згідно (10) параметр c є квадратичною функцією чисельності N. Якщо в координатах N, c побудувати графік такої залежності – параболу (рис. 4.9), то цей графік буде перетинати вісь абсцис в точках N = 0 і N = N_гр = p / q, які є нулями функції (доведіть!). Будь-яка точка цієї параболи відповідає одному з безлічі можливих рівноважних станів, тобто дана версія моделі передбачає безліч рівноважних станів.

Щоб переконатись у цьому, досить взяти в якості N ₀ будь-яке значення N з інтервалу 0 ≤ N ≤ p / q й обчислити відповідне значення
с – кожна така пара чисел (N і с буде обертати Δ N з рівняння (10) в нуль. Свого максимального значення середня швидкість вилову c отримує при N = N_гр /2 = p /2 q, і вона складатиме (переконайтеся в цьому самостійно):

с_max=p ² / 4 q. (11)

Рис. 4.9

Накреслимо тепер лінії c = с_mах, 0 < с < с_mах і c > с_mах. Перша з них перетинає параболу в одній точці (вершині M), друга – у двох точках L і Q (нижче вершини), а третя не має жодної спільної з параболою точки. З’ясуємо зміст цих трьох випадків.

У відповідності до наведених міркувань змінимо