Приклад 3. На краю горизонтальної платформи, яка має форму диска радіуса м, стоїть людина маси кг

На краю горизонтальної платформи, яка має форму диска радіуса м, стоїть людина маси кг. Маса платформи кг. Платформа може обертатися навколо вертикальної осі, яка проходить через її центр. Нехтуючи тертям, знайти:

a) з якою кутовою швидкістю обертатиметься платформа, якщо людина йтиме вздовж її краю з швидкістю відносно платформи;

b) на який кут повернеться платформа, якщо людина піде вздовж краю і, обійшовши його, вернеться у вихідну точку на платформі.

Момент інерції людини обчислювати як для матеріальної точки.

Розв’язання:

Платформа з людиною являє собою замкнену систему, тому момент імпульсу цієї системи має бути сталим. Закон збереження моменту імпульсу відносно осі z у нерухомій системі відліку має вигляд:

, (3.1)

де – момент інерції людини, – момент інерції платформи, – кутова швидкість людини відносно платформи, – кутова швидкість платформи. В рівнянні (3.1) напрям вектора збігається з додатним напрямом осі z, а вектор напрямлений у протилежний бік. Момент інерції людини (матеріальної точки):

. (3.2)

Момент інерції платформи (диска):

. (3.3)

Кутова швидкість людини відносно платформи:

. (3.4)

Підставивши (3.2), (3.3) та (3.4) в (3.1), дістанемо:

. (3.5)

З виразу (3.5) знайдемо кутову швидкість платформи:

. (3.6)

Після підстановки числових значень у формулу (3.6) дістанемо:

.

Кут, на який повернеться платформа,

. (3.7)

За той самий проміжок часу людина в системі відліку, зв’язаній з платформою, повернеться на кут

. (3.8)

Підставляємо час, знайдений з виразу (3.8), у формулу (3.7). Тоді:

. (3.9)

Виконавши обчислення за формулою (3.9), знайдемо кут

.