Приклад 4

Вертикально розташований однорідний стрижень маси і довжини може обертатися навколо свого верхнього кінця. У нижній кінець стрижня потрапила, застрягнувши, куля маси , що летіла горизонтально, внаслідок чого стрижень відхилився на кут . Вважаючи , знайти швидкість кулі під час польоту.

Розв’язання:

Під час удару систему куля – стрижень можна вважати замкненою, тоді для неї виконується закон збереження моменту імпульсу. Кулю вважаємо матеріальною точкою і її момент імпульсу відносно осі z:

. (4.1)

Момент імпульсу стрижня разом із кулею після абсолютно непружного удару відносно осі z:

, (4.2)

де – момент інерції стрижня відносно осі обертання, яка проходить через один з його кінців; – момент інерції кулі (матеріальної точки); – кутова швидкість стрижня безпосередньо після удару. З урахуванням співвідношень (4.1) та (4.2) закон зберігання моменту імпульсу відносно осі z матиме вигляд:

. (4.3)

Оскільки тертя в осі стрижня немає, то після удару механічна енергія системи зберігається. Кінетична енергія безпосередньо після удару дорівнює потенціальній енергії у крайньому положенні стрижня. Тобто:

, (4.4)

де – висота, на яку підіймається центр мас стрижня (точка С на рисунку 4.1). З формули (4.3) знайдемо кутову швидкість:

оскільки .

Тоді формула (4.4) набуває вигляду:

. (4.5)

З рисунка 4.1. випливає, що

.

Після підстановки в (4.5) дістанемо:

. (4.6)

З (4.6) випливає, що швидкість кулі

.