Приклад 8

Планета рухається по коловій орбіті. Знайти зв’язок між радіусом орбіти і періодом обертання планети навколо Сонця.

Розв’язання:

Між планетою і Сонцем діє сила тяжіння

, (8.1)

де – маса планети, – маса Сонця, – гравітаційна стала, – радіус орбіти. Період обертання

, (8.2)

де – швидкість планети. Сила тяжіння надає планеті нормального прискорення:

. (8.3)

Нормальне прискорення зв’язане з лінійною швидкістю співвідношенням:

. (8.4)

З (8.3) та (8.4) здобудемо швидкість:

. (8.5)

З формул (8.2) та (8.4) дістанемо шукане співвідношення між періодом обертання і радіусом орбіти:

.

Отже, квадрат періода обертання планети є пропорційним кубові радіуса її орбіти. Коефіцієнт не залежить від маси планети, а залежить від маси Сонця.