Динаміка твердого тіла

Момент сили відносно точки О (полюса):

,

де – радіус-вектор, проведений з точки О у точку прикладання сили.

Головний момент системи сил (вислідний момент) відносно полюса О:

,

де – радіус-вектор, проведений з полюса у точку прикладання сили .

Момент імпульсу (момент кількості руху) матеріальної точки відносно полюса:

,

де – радіус-вектор точки , – її швидкість.

Момент імпульсу матеріального тіла:

.

Основний закон динаміки для тіла, яке обертається навколо нерухомої точки:

,

де – головний момент зовнішніх сил, – момент імпульсу тіла.

Основний закон динаміки для тіла, яке обертається навколо нерухомої осі (осі 0z):

,

де і – проекції на вісь обертання векторів моменту імпульсу та вислідного моменту зовнішніх сил відносно осі обертання, – момент інерції тіла відносно осі обертання (осі 0z), – кутова швидкість.

Якщо , то

,

де – кутове прискорення.

Момент інерції тіла:

,

де – момент інерції матеріальної точки відносно осі 0z;

– відстань від осі обертання до цієї точки.

Момент інерції тонкого стрижня відносно осі, яка проходить через його середину перпендикулярно довжині:

,

де – маса стрижня, – його довжина.

Момент інерції тонкого стрижня відносно осі, яка проходить через один з його кінців перпендикулярно довжині:

.

Момент инерції суцільного циліндра (диска) маси і радіуса відносно осі, яка проходить через його центр мас перпендикулярно площині основи:

.

Момент інерції тонкого кільця, обруча, труби маси і радіуса відносно осі, яка проходить через його центр перпендикулярно площині основи:

.

Момент інерції однорідної кулі маси і радіуса відносно осі, яка проходить через її центр:

.

Теорема Гюйгенса – Штейнера:

,

де − момент інерції тіла відносно довільної осі 0z, – момент інерції цього самого тіла відносно осі, паралельної даній і такої, що проходить через центр мас тіла, – відстань між осями.

Рух вільного (незакріпленого) твердого тіла задовольняє наступні диференціальні рівняння руху:

,

де – швидкість центра мас тіла маси , – сума зовнішніх сил, – сума моментів зовнішніх сил, – момент імпульсу тіла відносно центра мас.

Момент імпульсу замкненої системи тіл відносно будь-якої нерухомої точки

.

Для замкненої системи у випадку обертання відносно осі 0z

.

Кінетична енергія вільного твердого тіла:

,

де – момент інерції тіла відносно миттєвої осі, яка проходить через його центр мас, – швидкість поступального руху центра мас тіла, – маса тіла, – кутова швидкість.

Робота сталого моменту сили , що діє на тіло, яке обертається:

,

де – кут повороту тіла.