Похідні та диференціали вищих порядків

Нехай функція має скінченну похідну у кожній точці деякого проміжку.

Означення. Похідна від називається другою похідною функції і позначається друга похідна одним із символів , . Отже,

.

Функція називається двічі диференційовною в точці , якщо величина скінченна. В цьому випадку функція є диференційовною в точці , а функція є диференційовною в деякому околі точки . Функція двічі диференційовна на деякій множині, якщо вона двічі диференційовна в кожній точці цієї множини.

Якщо матеріальна точка рухається вздовж осі і – координата точки в момент часу , тоді друга похідна визначає прискорення точки.

Нехай функція є диференційовною у кожній точці деякого проміжку. Тоді похідна від -ї похідної функції називається - ю похідною функції :

.

Означення 2. Диференціалом другого порядку функції у точці називається диференціал від диференціалу в точці . При цьому припускаємо, що приріст незалежної змінної при обчисленні другого диференціала обраний таким, як і при обчисленні першого диференціала.

Отже, якщо величина є скінченною, то .

Диференціалом ого порядку називається диференціал від ого порядку. Якщо величина скінченна, то можна довести, що

.

При цьому припускається, що приріст незалежної змінної при обчисленні першого і всіх наступних диференціалів не змінюється.