![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Означення 1. Функція називається нескінченно малою при
, якщо
(можливо, що
один із символів
).
Якщо функція є нескінченно малою при
, будемо використовувати позначення
(
), яке читається “
дорівнює
мале від 1 при
”.
Наприклад:
1)
; 2)
;
3)
,
; 4)
,
;
5)
,
.
Приклад 5. Величини ,
,
є нескінченно малими при
.
При нескінченно малими будуть функції
,
.
Функції ,
,
,
є нескінченно малими при
.
Справедливі такі твердження:
1) | ![]() | ![]() | ![]() ![]() |
(,
чи будь-який з символів
);
2) лінійна комбінація і добуток скінченного числа функцій, які є нескінченно малими при , є функцією, яка нескінченно мала при
.
Означення 2. Функція називається нескінченно великою при
, якщо
.
Сума нескінченно великих функцій не завжди є нескінченно великою функцією .
Зв’язок між нескінченно малими і нескінченно великими величинами такий:
1) якщо є нескінченно малою при
, то
є нескінченно великою при
;
2) якщо є нескінченно великою при
, то
буде нескінченно
малою величиною при .
Приклад 6. Величини є нескінченно малими при
. Зворотні величини
,
,
будуть нескінченно великими при
. При цьому тільки
(
), а величини
та
не прямують ні до
, ні до
(обміркуйте це, побудувавши графіки функцій).
Приклад 7. Функція є нескінченно великою при
; функція
є нескінченно великою при
; функція
є нескінченно великою при
та при
; функція
є нескінченно великою при
.
Означення 3. Нехай функції та
є нескінченно великими при
. Якщо
, то будемо казати, що
є нескінченно великою більш високого порядку, ніж
(
зростає швидше, ніж
). Приклад 8. а)
нескінченно велика більш високого порядку, ніж
при
; б)
більш високого порядку, ніж
при
.
Означення 4. Нескінченно малі (нескінченно великі) функції та
називаються еквівалентними (асимптотично рівними) при
, якщо
.
Звичайно для еквівалентних функцій застосовують позначення
![]() ![]() |
і говорять, що функції та
асимптотично рівні в точці
. Прийнято в асимптотичній рівності зліва писати громіздку функцію, яка вивчається, а справа – більш просту, яка вже вивчена до цього.
Приклад 9. Довести, що а) ,
;
б)
,
,
.
Розв’язання. а ) ;
б)
Таким чином, з прикладу 9б випливає наступне твердження.
Теорема 3. Сума нескінченно великих різних порядків еквівалентна нескінченно великій найбільш високого (старшого) порядку.
Асимптотичні формули можна почленно перемножати і ділити, а саме
![]() ![]() ![]() | ![]() | 1) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Інакше кажучи, при обчисленні границь добуток, відношення початкових функцій та
можна замінити добутком (відношенням) еквівалентних їм функцій
та
.
Приклад 10. Обчислити границі: а) ;
б) ; в)
Перша важлива границя. Спробуємо з’ясувати, чи існує границя функції при
. З цією метою обчислимо значення цієї парної функції при декількох достатньо малих значеннях
:(табл. 3.2). Таблиця 3.2
![]() | 0,5 | 0,125 | 0,01 | 0,005 |
![]() | 0,958851 | 0,997398 | 0,999983 | 0,999996 |
Складається враження, що границя функції при
існує і дорівнює 1.
Строге доведення цього глибокого факту ґрунтується на теоремі про граничний перехід у нерівності, яка застосовується для нерівності
. Отже,
![]() |
Оскільки
, а
, то
і, отже, графік функції
має такий вигляд (рис. 3.8):
Рис.5 | Смисл першої важливої границі полягає у тому, що синус малого кута практично дорівнює величині цього кута (у радіанах) | |||
![]() |
![]() | ![]() ![]() | ||
Друга важлива границя. Функція зростає при
(у це можна повірити, шляхом обчислення на калькуляторі значеннь
,
,
,
).
Крім того, неважко показати, що ця функція обмежена при :
. Тоді на підставі твердження теореми про те, що зростаюча та обмежена функція має скінченну границю, робимо висновок, що функція
має границю при
, яку прийнято позначати буквою
(рис.6). Число
є ірраціональним і навіть трансцендентним. Отже, мають місце співвідношення
![]() ![]() | ![]() | ||
Рис.6 | Зокрема ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
Таблиця еквівалентних нескінченно малих функцій
При справедливі асимптотичні рівності, подані у табл.1:
Таблиця 1
1. ![]() | 2. ![]() |
3. ![]() | 4. ![]() |
5. ![]() | 6. ![]() |
7. ![]() | 7 ![]() ![]() |
8. ![]() | 8 ![]() ![]() |
Приклад 11. Користуючись правилом заміни еквівалентними нескінченно малими, знайти такі границі:
1) (використовували формули 8 та 7 табл.1);
2) (використовували формули 1 та 8 табл.1);
3) (використовували формули 1 та 5 табл.1);
4) (викор-ли форм. 6 табл.1);
5)
(фор мули 3 та 6 табл.1);
6) (використовували формулу 8 табл.1);
7) (формула 7¢ табл. 1).
При знаходженні границь степенево-показникових функцій корисно використовувати основну логарифмічну тотожність
![]() |
Якщо ,то
та
(5)
8)
=
, оскільки
1.
=
=. =
=
9)
=
,
оскільки =
=
=
=
10) ,
тут була застосована формула (5)та формули 1, 2, 7 табл.1;
11)
(використовували формулу (5) та формули 3 та 7 табл. 1);
12)
(використ-ли форм.6табл. 1);
Дата публикования: 2015-01-13; Прочитано: 2971 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!