Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Означення 1. Функція називається нескінченно малою при , якщо (можливо, що один із символів ).
Якщо функція є нескінченно малою при , будемо використовувати позначення (), яке читається “ дорівнює мале від 1 при ”.
Наприклад:
1) ; 2) ;
3) , ; 4) , ;
5) , .
Приклад 5. Величини , , є нескінченно малими при .
При нескінченно малими будуть функції , .
Функції , , , є нескінченно малими при .
Справедливі такі твердження:
1) | () |
(, чи будь-який з символів );
2) лінійна комбінація і добуток скінченного числа функцій, які є нескінченно малими при , є функцією, яка нескінченно мала при .
Означення 2. Функція називається нескінченно великою при , якщо .
Сума нескінченно великих функцій не завжди є нескінченно великою функцією .
Зв’язок між нескінченно малими і нескінченно великими величинами такий:
1) якщо є нескінченно малою при , то є нескінченно великою при ;
2) якщо є нескінченно великою при , то буде нескінченно
малою величиною при .
Приклад 6. Величини є нескінченно малими при . Зворотні величини , , будуть нескінченно великими при . При цьому тільки (), а величини та не прямують ні до , ні до (обміркуйте це, побудувавши графіки функцій).
Приклад 7. Функція є нескінченно великою при ; функція є нескінченно великою при ; функція є нескінченно великою при та при ; функція є нескінченно великою при .
Означення 3. Нехай функції та є нескінченно великими при . Якщо , то будемо казати, що є нескінченно великою більш високого порядку, ніж ( зростає швидше, ніж ). Приклад 8. а) нескінченно велика більш високого порядку, ніж при
; б) більш високого порядку, ніж при .
Означення 4. Нескінченно малі (нескінченно великі) функції та називаються еквівалентними (асимптотично рівними) при , якщо .
Звичайно для еквівалентних функцій застосовують позначення
, |
і говорять, що функції та асимптотично рівні в точці . Прийнято в асимптотичній рівності зліва писати громіздку функцію, яка вивчається, а справа – більш просту, яка вже вивчена до цього.
Приклад 9. Довести, що а) , ;
б) , , .
Розв’язання. а ) ;
б)
Таким чином, з прикладу 9б випливає наступне твердження.
Теорема 3. Сума нескінченно великих різних порядків еквівалентна нескінченно великій найбільш високого (старшого) порядку.
Асимптотичні формули можна почленно перемножати і ділити, а саме
1) , 2) ( при ). |
Інакше кажучи, при обчисленні границь добуток, відношення початкових функцій та можна замінити добутком (відношенням) еквівалентних їм функцій та .
Приклад 10. Обчислити границі: а) ;
б) ; в)
Перша важлива границя. Спробуємо з’ясувати, чи існує границя функції при . З цією метою обчислимо значення цієї парної функції при декількох достатньо малих значеннях :(табл. 3.2). Таблиця 3.2
(рад) | 0,5 | 0,125 | 0,01 | 0,005 |
0,958851 | 0,997398 | 0,999983 | 0,999996 |
Складається враження, що границя функції при існує і дорівнює 1.
Строге доведення цього глибокого факту ґрунтується на теоремі про граничний перехід у нерівності, яка застосовується для нерівності . Отже,
. |
Оскільки , а , то і, отже, графік функції має такий вигляд (рис. 3.8):
Рис.5 | Смисл першої важливої границі полягає у тому, що синус малого кута практично дорівнює величині цього кута (у радіанах) | |||
, . | ||||
Друга важлива границя. Функція зростає при (у це можна повірити, шляхом обчислення на калькуляторі значеннь , , , ).
Крім того, неважко показати, що ця функція обмежена при : . Тоді на підставі твердження теореми про те, що зростаюча та обмежена функція має скінченну границю, робимо висновок, що функція має границю при , яку прийнято позначати буквою (рис.6). Число є ірраціональним і навіть трансцендентним. Отже, мають місце співвідношення
. | . | ||
Рис.6 | Зокрема , . Логарифми за основою називаються натуральними і позначаються . Перша та друга важливі границі дозволяють суттєво розширити запас еквівалентних нескінченно малих величин. | ||
Таблиця еквівалентних нескінченно малих функцій
При справедливі асимптотичні рівності, подані у табл.1:
Таблиця 1
1. | 2. |
3. | 4. |
5. | 6. |
7. | 7 . |
8. | 8 . |
Приклад 11. Користуючись правилом заміни еквівалентними нескінченно малими, знайти такі границі:
1) (використовували формули 8 та 7 табл.1);
2) (використовували формули 1 та 8 табл.1);
3) (використовували формули 1 та 5 табл.1);
4) (викор-ли форм. 6 табл.1);
5) (фор мули 3 та 6 табл.1);
6) (використовували формулу 8 табл.1);
7) (формула 7¢ табл. 1).
При знаходженні границь степенево-показникових функцій корисно використовувати основну логарифмічну тотожність
; |
Якщо ,то та (5)
8) = , оскільки
1. = =. = =
9) = ,
оскільки = = = =
10) ,
тут була застосована формула (5)та формули 1, 2, 7 табл.1;
11) (використовували формулу (5) та формули 3 та 7 табл. 1);
12) (використ-ли форм.6табл. 1);
Дата публикования: 2015-01-13; Прочитано: 2933 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!