Диференціал функції

Нехай функція диференційовна в точці (має скінченну похідну ). Тоді приріст функції в цій точці може бути подано у вигляді:

,

де – нескінченно мала величина більш високого порядку мализни, ніж . Якщо величина , то приріст є нелінійною нескінченно малою величиною, що залежить від .

Означення. Диференціалом диференційовної в точці функції називається лінійна відносно частина приросту :

.

Отже, диференціал залежить від точки , де він обчислюється, і від приросту незалежної змінної .

Диференціал незалежної змінної не залежить від і дорівнює . Дійсно, нехай . Тоді і приходимо до більш симетричної форми запису диференціала: .

Таким чином, введений раніше для позначення похідної символ можна розглядати як відношення диференціалів (, поділене на ).

Структура диференціала значно простіша, ніж структура приросту, оскільки диференціал є лінійною функцією. З точністю до нескінченно малих вищого порядку в порівнянні з має місце наближена рівність

. (5.2)

І абсолютна , і відносна похибки наближеної рівності (5.2) прямують до нуля при .

Наближену рівність (5.2) можна переписати у вигляді:

.

Позначимо . Тоді останнє співвідношення записується таким чином:

(5.3)

Зміст формули (5.3) такий: в околі точки ордината дотичної до графіка функції в точці мало відрізняється від ординати графіка. Тому в околі цієї точки графік функції з достатньою точністю може бути замінений дотичною (рис. 5.6).

Геометричний зміст диференціала – це приріст ординати дотичної при переході від точки до точки .

Рис. 5.6

Приклад 10. 1. Обчислити наближено ;

Розв’язання. 1. Розглянемо функцію і припустимо , . Тоді диференціал функції дорівнюватиме

.

Отже, .