Властивості неперервної функції

1. Локальні властивості (властивості в малому околі фіксованої точки):

1)

неперервна у точці

: ;

2)

неперервна у точці ,

:

(порівняйте з твердженням теореми 2 підрозд. 3.6).

2. Глобальні властивості (властивості на всій області визначення).

Означення 1. Фу нкція називається неперервною на відрізку , якщо вона неперервна на інтервалі , а також

, .

Важливою властивістю неперервної на відрізку функції є те, що сукупність її значень являє собою відрізок.

З цієї властивості випливають такі результати:

Якщо функція неперервна на відрізку , то

1) вона досягає на ньому як найбільшого , так і найменшого своїх значень і (рис. 4.4):

;

2)

;

3)

.

На останньому результаті засновані методи відшукування коренів рівняння .

Рис. 4.4	Якщо функція зростає (спадає) і є неперервною на відрізку , то обернена для функція зростає (спадає) і є неперервною на відрізку . 3.9. Асимптоти графіка функції При побудові графіка функції велику роль відіграють прямі, до яких графік необмежено наближається за умови, що відстань від точки графіка до початку координат прямує до . Ці прямі називаються асимптотами графіка функції.
	а   Рис.3.10	б	Якщо при , що прямує до зліва чи справа, то пряма є вертикальною асимптотою графіка функції (рис.3.10,а). Якщо , то пряма є правоюпохилоюасимптотою графіка функції (рис. 3.10, б).

Якою б вузькою не була смужка, що оточує праву похилу асимптоту, є такий окіл , що для графік функції цілком міститься у цій смужці.Наступні твердження еквівалентні:

,		, ,		– права похила асимптота
Якщо , то пряма є правою горизонтальноюасимптотою графіка функції (рис. 3.10, в). Аналогічним чином визначається ліва похила асимптота. Рис. 3.10	в Рис. 3.10

Приклад 21. Знайти асимптоти кривої: ;

Розв’язання. 1) Оскільки при , то рівняння вертикальної асимптоти має вигляд .При цьому

, .

Шукаємо похилі асимптоти:

Рис. 3.12

, Отже, пряма є похилою асимптотою (рис. 3.12). Інакше .

при і, отже, пряма є похилою асимптотою графіка.