Відносний приріст функції

Нехай функція визначена в околі точки .

Означення. Відносним приростом функції в точці наз-ся величина .

Приклад 1. а) нехай матеріальна точка рухається вздовж осі , – її координата в момент часу . Тоді середня швидкість цієї точки на відрізку часу дорівнює

;

б) дамо геометричне тлумачення відносного приросту. Через точки і графіка функції проведемо січну .

Припустимо, що ця січна утворює з додатним напрямом осі кут . Тоді з прямокутного трикутника одержуємо (рис. 5.1).

Рис. 5.1

5.2. Похідна функції Нехай функція визначена в деякому околі точки . Означення.Назвемо похідною функції в точці границю, якщо вона існує і скінченна, відносного приросту при наближенні до нуля.

При цьому будемо казати, що функція є диференційовною в точці .

Похідну функції в точці позначають одним з таких символів: . Таким чином,

. (5.1)

Якщо функція диференційовна в точці , то

(5. )

з (5. ) виходить, що при . Тобто, якщо функція диференційовна в точці , то вона є неперервною в цій точці. Таким чином, множина диференційовних в точці функцій є лише частиною множини неперервних функцій в цій точці.

Числа ,

називаються відповідно правою та лівою похідними функції в точці .

Інколи доцільно користуватись поняттям нескінченної похідної. А саме: якщо функція неперервна в точці і , то вважаємо .

Аналогічним чином вносяться до розгляду однобічні нескінченні похідні:

, якщо ;

, якщо .

Похідна (нескінченна похідна) існує тоді і лише тоді, коли іс-нують і рівні між собою права та ліва похідні в цій точці: .

Означення 2. 1) Функція називається гладкою на відрізку , якщо вона має всередині цього відрізка неперервну похідну і , .

2) Функція називається кусково – гладкою на відрізку , якщо вона та її похідна є кусково – неперервними функціями (тобто, цей відрізок можна розбити на скінченну кількість відрізків, в кожному з яких функція є гладкою).

Приклад 2. Знайти, якщо вона існує, похідну в точці таких функцій:

1) ; 2) .

Розв’язання. 1) якщо . Похідна існує і дорівнює 0: .

2)

Похідна функції в точці не існує, хоча сама функція є неперервною в цій точці. Але існують права та ліва похідні в точці :

, .