Розривні функції

Якщо функція не є неперервною у точці , то кажуть, що функція розривна (має розрив) у цій точці.

Точка називається точкою усувного розриву функції , якщо

.

Така назва пояснюється тим, що, змінюючи значення функції лише в одній точці, функцію можна зробити неперервною.

Приклад 3. Функція визначена в проколеному околі точки . Визначити функцію у точці так, щоб функція була неперервною у точці .

Розв’язання. . Звідси виходить, що функція неперервна у точці .

Точка називається точкою розриву першого роду, якщо права і ліва границі в цій точці існують, але

.

Число називається стрибком функціїу точці .

Приклад 4. Знайти точки розриву функції (рис. 4.2).

Розв’язання. Функція має розриви першого роду в точках :

1) ;

2) .

Розриви усувні та першого роду іноді називають простими розривами. Якщо хоча б одна з границь , не існує або є нескінченною, то точка називається точкою розриву другого роду.

Приклад 5. Визначити характер точок розриву функції .

Розв’язання. Ця функція неперервна всюди, крім точок 0 і . Точка є точкою розриву першого роду зі стрибком

.

Точка є точкою розриву другого роду: , . Ескіз графіка цієї функції поданий на рис. 4.3.

Рис. 4.3

Розривними функціями описуються моделі багатьох процесів, що проходять у навколишньому світі. Так, наприклад, поблизу температури розтавання льоду кількість теплоти, що знаходиться у грамі води (льоду), змінюється стрибкоподібно.