Неперервні функції

Нехай функція визначена в деякому околі точки .

Припустимо, що значення функції ( ) мало відрізняються від , якщо мало відрізняється від . В цьому випадку будемо вважати, що значення функції змінюються в околі без стрибків, тобто неперервно. Прикладом неперервної функції може служити закон руху матеріальної точки, який пов’язує пройдений точкою шлях з часом. Оскільки час і простір неперервні, то закон руху ставить у відповідність малій зміні часу малу зміну пройденого шляху.

Перейдемо до точних означень.

Означення 1.0 Приростом аргументу у точці називається різниця значень аргументу

Означення 1. Приростом функції у точці , який відповідає приросту незалежної змінної, назвемо число (рис. 4.1, а)

.
а	б

Рис. 4.1

Приклад 1. Знайти приріст функції у точках ; .

Розв’язання.

; .

Означення 2. Функція називається неперервною у точці , якщо

.

Оскільки ,

то з означення 2 випливає, що функція неперервна у точці , якщо границя цієї функції у точці існує і дорівнює значенню функції у точці (рис. 4.1, б)

.

Отже,

неперервна в точці

: .

Якщо функція неперервна в кожній точці деякої множини (наприклад, інтервалу ), то

кажуть, що функція неперервна на цій множині (на інтервалі ).

Відзначимо такі важливі результати;

1) і неперервні у точці

, , неперервні у точці ;

2) Якщо функція неперервна у точці , а функція неперервна у точці , то складена функція неперервна у точці . Звідси випливає, що

елементарні функції неперервні в області визначення.

Приклад 2. Покажемо на підставі означення 2, що функції та є неперервними для всіх значень .

Розв’язання. 1) = , якщо ; 2) = , оскільки функція є нескінченно малою при .