Послідовність та її границя

Означення 1. Послідовністю називається функція, яка визначена на множині натуральних чисел: . Число називається –м членом послідовності й позначається , або .

Для послідовності використовуються позначення

; .

Про границю послідовності можна говорити лише при .

Поняття границі послідовності одержується з поняття границі функції при .

Означення 2. Число називається границею послідовності , якщо для будь-якого околу числа існує окіл , такий, що , якщо .

Для границі послідовності використовуються такі позначення:

; , .

Інакше кажучи, число є границею послідовності, якщо в будь-який окіл цього числа потрапляють всі члени послідовності, за винятком скінченного їх числа.

Приклад 6. Довести, що: а) ; б) .

Розв’язання. а) Нехай – довільне додатне число. Доведемо існування такого числа , що для членів послідовності, номери яких більше , виконується нерівність .Остання нерівність рівнозначна нерівності , яка справедлива при . (При отримаємо ). Це означає, що в проміжок потрапляють всі члени послідовності , починаючи з четвертого (рис. 3.7, а).

а

б Рис. 3.7

б) . Виберемо . Тоді = . Отже, в окіл потрапляють всі члени послідовності , починаючи з шостого (рис. 3.7, б).

ТЕОРЕМА. Співвідношення має місце тоді і тільки тоді, коли для будь-якої послідовності , такої, що (твердження справедливе і для та ).

Цю теорему зручно використовувати для доведення того, що деяка функція не має границі при .

Приклад 7. Довести, що функція не має границі при .