Скалярний добуток двох векторів

Означення 1. Скалярним добутком векторів називається число, яке позначають символом і визначають рівністю

. (4)

Відзначимо основні властивості скалярного добутку:

1) Вектори ортогональні (перпендикулярні) тоді і тільки тоді, коли іх скалярний добуток дорівнює нулю:

2)

Теорема 2. Нехай в ортонормованому базисі вектори задані своїми координатами , . Тоді скалярний добуток цих векторів дорівнює сумі попарних добутків одноіменних координат

. (5)

Наслідок 1. Довжина вектора дорівнює квадратному кореню з суми квадратів його координат

. (6)

Наслідок 2. Косинус кута між векторами знаходиться так

. (7)

Напрямними косинусами вектора називаються косинуси кутів вектора з осями координат (рис.5). З формули (7) випливає

, , . (8)

Звідси, наприклад, . Таким же чином визначається ортогональна проекція вектора на напрямок вектора : , (9) або = ()