Лінійна залежність та незалежність системи векторів

Нехай вектори з .

Кажуть, що вектор є лінійною комбінацією векторів з коефіцієнтами , якщо .

Означення 2. Система векторів називається лінійно незалежною, якщо жоден з векторів системи не є лінійною комбінацією решти векторів. В протилежному випадку вектори називаються лінійно залежними (хоча б один з них є лінійною комбінацією решти).

Лінійна залежність векторів та означає їх пропорційність, а лінійна залежність векторів та в - їх компланарність.

Еквівалентне означення 3. Система векторів є лінійно залежною, якщо знайдуться такі числа серед яких хоча б одне не дорівнює нулю, що має місце рівність:

Якщо ж рівність (2.1) можлива лише при , то система векторів

буде лінійно незалежною. В існує система з лінійно незалежних векторів, aлe будь-яка система, що складається з більш ніж векторів, лінійно залежна.

Приклад 1. Довести, що система векторів, яка містить у собі нульовий вектор або пару пропорційних векторів, є лінійно залежною.

Розв'язання. 1) Нехай, наприклад, Тоді можна знайти лінійну комбінацію векторів системи, яка дорівнює нульовому вектору, причому не всі коефіцієнти цієї лінійної комбінації дорівнюють нулю:

2) Нехай, наприклад, . Тоді одержимо:

Приклад 2. Довести, шо система векторів

лінійно незалежна

Розв'язання. Оскільки , то . Оскільки всі координати нульового вектора дорівнюють нулю, то . Це і означає лінійну незалежність системи векторів.

Приклад 3. Знайти в лінійну комбінацію векторів

Розв'язання. Маємо:

Отже, система векторів лінійно залежна. Будь-який з векторів системи є лінійною комбінацією інших:

Відзначимо, що будь-які два вектори цієї системи лінійно незалежні, бо вони неколінеарні (дійсно, якщо, наприклад, , то повинна мати розв'язок система:

Але ця система рівнянь розв’ язку не має).

Приклад 4. З'ясувати, чи є вектори лінійно залежними:

а)

Розв'язання. Складаємо векторну рівність . Відповідні рівності для координат утворюють систему рівнянь

, для якої .

Рівність нулю визначника означає, що у матриці системи два рядки пропорційні. Розв'язуємо систему методом Гаусса.

. Система має нескінченну кількість розв'язків. Візьмемо, наприклад, =1, тоді її розв'язок (-1;2;1). Показано, що існують числа = -1, =2, =1, які , але лінійна комбінація , звідки випливає, що вектори лінійно залежні.

б)

Розв'язання. (*)

. Для системи (*)

= = =0 вектори лінійно незалежні.

Базис.

Означення 4. Базисом простору називається будь-яка система з лінійно незалежних векторів цього простору.

Якщо вектори утворюють базис простору , то будь-який вектор

однозначно подається у вигляді:

Числа називаються координатами вектора в базисі .