![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Нехай вектори з
.
Кажуть, що вектор є лінійною комбінацією векторів
з коефіцієнтами
, якщо
.
Означення 2. Система векторів називається лінійно незалежною, якщо жоден з векторів системи не є лінійною комбінацією решти векторів. В протилежному випадку вектори
називаються лінійно залежними (хоча б один з них є лінійною комбінацією решти).
Лінійна залежність векторів та
означає їх пропорційність, а лінійна залежність векторів
та
в
- їх компланарність.
Еквівалентне означення 3. Система векторів є лінійно залежною, якщо знайдуться такі числа
серед яких хоча б одне не дорівнює нулю, що має місце рівність:
Якщо ж рівність (2.1) можлива лише при , то система векторів
буде лінійно незалежною. В
існує система з
лінійно незалежних векторів, aлe будь-яка система, що складається з більш ніж
векторів, лінійно залежна.
Приклад 1. Довести, що система векторів, яка містить у собі нульовий вектор або пару пропорційних векторів, є лінійно залежною.
Розв'язання. 1) Нехай, наприклад, Тоді можна знайти лінійну комбінацію векторів системи, яка дорівнює нульовому вектору, причому не всі коефіцієнти цієї лінійної комбінації дорівнюють нулю:
2) Нехай, наприклад, . Тоді одержимо:
Приклад 2. Довести, шо система векторів
лінійно незалежна
Розв'язання. Оскільки , то
. Оскільки всі координати нульового вектора дорівнюють нулю, то
. Це і означає лінійну незалежність системи векторів.
Приклад 3. Знайти в лінійну комбінацію
векторів
Розв'язання. Маємо:
Отже, система векторів лінійно залежна. Будь-який з векторів системи є лінійною комбінацією інших:
Відзначимо, що будь-які два вектори цієї системи лінійно незалежні, бо вони неколінеарні (дійсно, якщо, наприклад, , то повинна мати розв'язок система:
Але ця система рівнянь розв’ язку не має).
Приклад 4. З'ясувати, чи є вектори лінійно залежними:
а)
Розв'язання. Складаємо векторну рівність . Відповідні рівності для координат утворюють систему рівнянь
, для якої
.
Рівність нулю визначника означає, що у матриці системи два рядки пропорційні. Розв'язуємо систему методом Гаусса.
. Система має нескінченну кількість розв'язків. Візьмемо, наприклад,
=1, тоді її розв'язок (-1;2;1). Показано, що існують числа
= -1,
=2,
=1, які
, але лінійна комбінація
, звідки випливає, що вектори
лінійно залежні.
б)
Розв'язання. (*)
. Для системи (*)
=
=
=0
вектори
лінійно незалежні.
Базис.
Означення 4. Базисом простору називається будь-яка система з
лінійно незалежних векторів цього простору.
Якщо вектори утворюють базис простору
, то будь-який вектор
однозначно подається у вигляді:
Числа називаються координатами вектора
в базисі
.
Дата публикования: 2015-01-13; Прочитано: 2864 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!