Оценка генеральной средней по выборочной средней

Теорема: Выборочная средняя есть несмещенная и состоятельная оценка для генеральной средней

.

Доказательство: Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка n, все значения которой различны (x₁ , x₂ , …, x_n). В этом случае выборочная средняя равна

.

Будем рассматривать выборочную среднюю как среднее арифметическое случайных величин X₁ , X₂ , …, X_n

.

Т.к. выборка извлечена из генеральной совокупности, то каждая из этих величин X₁ , X₂ , …, X_n имеет одно и то же распределение. Эти случайные величины независимы, тогда математическое ожидание

.

Поскольку , получаем .

Таким образом - несмещенная оценка для генеральной средней.

Покажем, что выборочная средняя состоятельная оценка.

Используем теорему Чебышева

, откуда

.

Теорема доказана.