Эмпирическая (опытная) функция распределения

Пусть известно статистическое распределение частот некоторого признака. Обозначим n_x - число наблюдений, при котором наблюдалось значение признака меньше чем x.

n - общее число наблюдений (объем выборки). Относительная частота следующего события {X < x} равна n_x / n.

Эмпирической функцией распределения выборки называют функцию F^*(x), которая для каждого значения x определяет относительную частоту событий {X < x }.

F^*(x) = (n_x / n), где n_x - число вариант, которые меньше x,
n - объем выборки.

В отличии от эмпирической функции распределения выборки функция распределения F(x) генеральной совокупности называется теоретической функцией распределения.

Различие между этими функциями в том, что функция F(x) определяет вероятность события F(x) = P(X<x), а F^*(x) определяет относительную частоту этого события:

F^*(x) = n_x / n.

В силу теоремы Бернулли имеем, что при больших значениях n эти функции мало отличаются друг от друга:

или .

Свойства эмпирической функции распределения:

1) F^*(x) Î [0,1],

2) F^*(x) – неубывающая, т.е. если x₁ ³ x₂, то F^*(x₁) ³ F^*(x₂),

3) если x₁ - наименьшая варианта, то F^*(x) = 0, если x £ x₁,

если x₂ - наибольшая варианта, то F^*(x) = 1, если x > x₂.

Пример:

x
ni

.

;

;

;

.

0, при 1,0

0,15, при

0,5, при

1,0, при . 0,5

0,25

0,15

2 4 6 8 10