![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть даны две случайные величины (X, Y), где X и Y зависимые. Предположим, что одна величина может быть выражена через другую величину линейно, т.е. представим случайную величину Y как линейную функцию от Х:
Y» g (X) = a + b*X.
Найдем коэффициенты a и b, используя метод наименьших квадратов.
Функция g(X) = a + b*X, называется наилучшим приближением случайной величины Y. Для того, чтобы эта функция давала более точное приближение, достаточно, чтобы математическое ожидание отклонения квадрата случайной величины Y от данной функции было бы наименьшим:
M(Y – a – b*X)2.
Функцию g (X) называют среднеквадратической регрессией случайной величины Y на X.
Теорема: Линейная среднеквадратическая регрессия случайной величины Y на X имеет следующий вид:
, где
.
Доказательство: Рассмотрим функцию от двух переменных равную:
.
Данную функцию можно представить в виде:
Исследуя данную функцию F(a,b) на экстремум, вычислим частные производные первого порядка и приравняем их к нулю:
Решая, получим:
F(a, b) имеет наименьшее значение, тогда получим, что
,
, что и требовалось доказать.
Коэффициент, равный , называют коэффициентом регрессии случайной величины Y на X, а прямую
прямой среднеквадратической регрессии случайной величины Y на случайную величину X.
Если в F(a, b) подставить найденные коэффициенты, то получим наименьшее значение данной функции
которое называется остаточной дисперсией Y относительно X, и которая характеризует величину ошибки, которая допускается при замене случайной величины Y на g (X).
Если коэффициент корреляции , то F(a,b) = 0 и ошибка не возникает. Это значит, что X и Y связаны функциональной линейной зависимостью.
Аналогично можно получить прямую среднеквадратической регрессии случайной величины X на Y. Она имеет вид:
.
Обе прямые среднеквадратической регрессии Y на X и X на Y пересекаются в точке с координатами (mx, my), которая называется центром совместного распределения случайных величин X, Y.
Если коэффициент r = ± 1, то прямые регрессии будут совпадать.
Дата публикования: 2015-01-13; Прочитано: 299 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!