Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами



Это уравнения вида у" + Ру' + qу = f(х). Общее решение этого неоднородного уравнения есть сумма общего решения у0 однородного уравнения (f(х) = 0) и любого частного решения неоднородного уравнения, т.е. у = у0 + .

Общее решение однородного уравнения записывается после нахождения корней соответствующего характеристического уравнения К2 + рк + q = 0.

Возможны случаи:

- корни действительны и различны (к1 ≠ к2), тогда у0 = с1 ек1х + с2 ек2х;

- корни действительные кратные (к1 = к2 = к), тогда у0 = (с1 + с2 х) е кх;

- корни комплексно сопряженные (к1,2 = α ± iβ), тогда у0 = еαх1 соs βх + с2 sin βх).

Частное решение для рассматриваемых видов правых частей можно найти подбором неизвестных коэффициентов:

- если правая часть имеет вид f (х) = Рп (х) еахп (х)- известный многочлен степени п), то ищется в виде = Qп(х) еах, если а ≠ к1 и а ≠ к2 (здесь и далее Qп(х) это многочлен степени п, коэффициенты которого и необходимо подобрать); = х Qп(х) еах , если α совпадает с одним из корней характеристического уравнения; = х2 Qп(х) еах, если а = к1 = к2;

- если правая часть уравнения имеет вид f (х) = А соs Вх + В sin Вх, то имеется в виде = х(М соs Вх + N sin Вх), если корни характеристического уравнения

к1,2 = α ± iβ; = М соs Вх + N sin Вх во всех остальных случаях.

Пример 1. Найти частное решение уравнения: у" – 4у' + 3у = (х + 2)ех, удовлетворяющее начальным условиям у (0) = 0, у' (0) =

Решение.

Характеристическое уравнение имеет вид к2 – 4к – 3 = 0, а его корни к1 = 1 и к2 = 3. Следовательно, у0 = с1 ех + с2 е.

Так как коэффициент при х в показателе экспоненты правой части уравнения равен одному из корней характеристического уравнения (α = 1), то частное решение ищется в виде: = х(Ах + В) ех.

Коэффициенты А и В следует подобрать таким образом, чтобы после подстановки в левую часть уравнения это левая часть тождественно равнялась бы его правой части (х + 2) ех. Подстановку в уравнение удобно осуществлять в следующей форме:

  = (Ах2 + Вх)ех
+ -4   = ех (Ах2 + Вх)+ ех (2 Ах + В)
+   = ех (Ах2 + Вх)+2 ех (2 Ах + В) + ех

Ех2 (4А – 4А) + х(3В – 4В – 8А + В + 4А)+ (-4В + 2В + 2А)] = (х + 2)ех.

Из полученного тождества следует система линейных уравнений относительно А и В:

откуда: А = - , В = - .

Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

у = с1 ех + с2 е – ( х2 + х) ех.

для нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям (решения задачи Коши), найдем у':

у' = с1 ех + 3с2 е – ех ( х2 + х) ех ( х + ).

Из начальных условий получаем систему:

ее решением будет с1 = -2; с2 = 2. Поэтому окончательно частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид:

у = -2ах + 2е – ех ( х2 + х).

Аналогично решаются задачи 51-75.





Дата публикования: 2014-12-11; Прочитано: 301 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...