Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка

Если в уравнении у = f (х, у) и ее частная производная ∂ f / ∂у непрерывны в некоторой области D на плоскости х0у, содержащей некоторую точку (х₀, у₀), то существует единственное решение этого уравнения у = φ (х), удовлетворяющее условию у₀ = φ (х₀) (это условие называется начальным и его часто записываются в виде у|_{х = х0} = у₀.

Геометрически теорема означает, что существует единственная функция у = φ (х), являющаяся решением дифференциального уравнения, график который проходит через точку (х₀ у₀).

Определение 1.1 Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = φ (х, с) удовлетворяющая условиям:

- она является решением уравнения при любом значении произвольной постоянной С;

- для любого начального условия у|_{х = х0} = у₀ из области D теоремы существования найдется такое значение С = С₀ что решение у = φ (х, с₀) удовлетворяет начальному условию, т.е. φ (х, с₀) = у₀.

Замечание. Часто общее решение получается в неявном виде Ф(х, у, С) = 0, тогда оно называется общим интегралом.

Определение 1.2. Частным решением называется функция у = φ (х, с₀), получающаяся из общего решения при определенном значении С = С₀. Аналогично функция Ф(х, у, С) = 0 называется частным интегралом. Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальному условию, называется задачей КОШИ.

Геометрически частное решение изображается кривой на плоскости (интегральной кривой), а общее решение множеством (семейством) кривых.

Если задано дифференциальное уравнение у^' = f (х, у), то в каждой точке плоскости х0у можно найти значение функции f (х, у). Этому значению равна (в силу дифференциального уравнения) производная от решения в данной точке (угловой коэффициент касательной). Тем самым дифференциальное уравнение в каждой точке задает направление (т.е. поле направлений на плоскости х0у). Интегральная кривая проходит касаясь в каждой точке этого направления.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение у^' = . В точке (1.1) угловой коэффициент касательной равен f (1.1) = 1. Такой же наклон (tq φ = 1 φ ) будет во всех точках прямой у = х (f (х, у) = 1). В точках прямой у = 2х наклон касательной также будет одинаков и равен tq φ = . Для этого уравнения нетрудно найти наклоны касательных и в точках прямых, проходящих через начало координат. Таким образом, поле направлений можно изобразить следующим образом (1 рис.).

Рис. 1. Изображение одной из интегральных кривых.