Некоторые типы уравнений первого порядка

1. Уравнения с разделяющимися переменными. Это уравнения, которые можно привести к виду у^' = f₁ (х) * f₂ (у). Они решаются разделением переменных: производная записывается как отношение дифференциалов, группируются по разные стороны от знака равенства члена, содержащие х и у соответственно. После интегрирования получается общий интеграл уравнения.

Пример 1. Найти общий интеграл уравнения у^' = .

Решение. ln |у| = ln |х| + ln |с| - общий интеграл (ln |с| - произвольная постоянная, записанная в удобной форме). |y| = |cx| у = сх – общее решения.

Аналогично решаются задачи 1-25.

2. Однородные уравнения. Это уравнение вида у^' = f (х, у), где функция f (х, у) обладает свойствами f = (λx, λу) = f (х, у). На основании указанного свойства правой части, с помощью замены переменных у = и * х (вместо функции у (х) вводится новая функция и(х), однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 2. Найти общее решение уравнения: у^' = ln + .

Решение. Убеждаемся, что уравнение однородное:

ln + = ln + . Делаем указанную замену переменных у = и * х у^' = и^'х + и (производная произведения). В новых переменных уравнение имеет вид и^'х + и = иlnи + и и решается разделением переменных u ln |lnu| = ln|x| + ln|c| |lnu| = |cx| lnu = cx u = e^сх.

После возврата к старым переменным общее решение примет вид:

= e^сх у = х * e^сх.

3. Линейное уравнения. Это уравнение вида у^' + Р (х) * у = Q (х). Будет решать методом вариации произвольной постоянной:

- решается однородное уравнение у^' + Р (х) * у = 0, с разделяющимися переменными = - Р (х) dx у – с * ,

- произвольная постоянная С считается функцией с (х) и эта функция подбирается из условия, чтобы у = с(х) * была бы решением исходного неоднородного уравнения; этот подбор сводится к решению еще одного уравнения с разделяющимися переменными относительно искомой функции с (х). После подстановки ч = с(х) * в уравнение имеем + Р(х) = Q (х) с^' = Q (х) с = Q (х) dx + с₁.

Окончательно общее решение имеет вид: у = ( Q (х) dx + С₁) .

Пример.3. Кривая проходит через точку (1.3), угловой коэффициент касательной к этой кривой в любой ее точке зависит от координат точки касания следующим образом: к (х, у) = - х. Найти уравнение этой кривой.