Односторонние пределы. Классификация разрывов. Определение непрерывности

Lim(х₀±|h|) при h®0 – наз. односторонним правым (левым пределом) ф-ции f(x) в т. х₀

Теор.: Пусть интервал (x₀-d,x₀+d)\{x₀} принадлежит обл.опр. ф-ции для некоторго d>0. Тогда Lim f(x) в т. х₀ сущ-ет <=> когда cущ-ет правый и левый предел f(x) в т. х₀ и они равны между собой.

Необходимость: Пусть предел f(х) сущ-ет и равен А => "Е>0 $ d >0: -d<х-х₀<d => |f(х)-А|<Е, т.е. $ такое d, что как только х попадает в d-окрестность т. x₀ сразу f(х) попадает в интервал(инт) (f(х)-А,f(х)+А). Если х попадает в инт. (0, x₀+d) => x попадает в инт. (x₀-d,x₀+d) => f(х) попадает в инт. (f(х)-А,f(х)+А) => правый предел сущ-ет и он равен А. Если х попадает в инт. (x₀-d,0) => x попадает в инт. (x₀-d,x₀+d) => f(х) попадает в инт. (f(х)-А,f(х)+А) => левый предел сущ-ет и он равен А.

Достаточность: Lim (х₀±|h|) при h®0: Lim(х₀+|h|) = Lim(х₀-|h|)=А

"Е>0 $ d’ >0: 0<х-х₀<d’ => |f(х)-А|<Е

"Е>0 $ d” >0: -d”<х-х₀<0 => |f(х)-А|<Е

Получили "Е>0 $ 0<d=min{d’,d”}: -d <х-хо<d => |f(х)-А|<Е

Опр.1: Фун-я f(x) наз. непрерывной в т. х₀ если при х®х₀ Lim f(х)=f(х₀). Заменяя в определениях предела ф-ии по Коши и по Гейне А на f(х₀) получаем опр.по Коши и по Гейне непрерывности ф-ции f(x) в точке х_0. Поскольку в опр. по Коши нер-во |f(х)-f(х₀)|<Е выполнено и при х=х₀ => в опр. можно снять ограничение х¹х₀ => получим второе равносильное опр.:

Опр.2: Ф-ция f(x) наз. непрерывной в т. х₀, если "Е>0 $d>0: -d <х-хо<d => |f(х)-f(а)|<Е

Аналогично сняв ограничение х¹х₀ - получим опр-е по Гейне:

Опр.3: Ф-ция f(x) наз. непрерывной в т. х₀, если " посл-ти х_N®х₀, f(x_N)®f(a)

Если при х®х₀ limf(х)¹f(х₀), то говорят что ф-ция f(x) имеет разрыв в т. х₀. Это происходит если:

а) f(х) неопределена в точке х₀

б) Предел f(х) в т. х₀ не существует

в) f(х) определена в х₀ и limf(х) в точке х₀ существует но равенство Дшь f(х)=f(а) не выполняется

Различают: 1) т. разрыва I рода, для которых сущ-ют конечные односторонние пределы (либо они неравны друг другу либо равны, но неравны f(х₀)

2) т. разрыва II рода - не сущ-ет хотя бы один односторонний предел.

Если правый и левый предел в х₀ совпадают, то х₀ наз. устранимой т. разрыва.

Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, то х₀ - точка бесконечного разрыва.

Пусть x₀ – т. разрыва, x₀ наз. изолированной, если в некоторой окрестности этой точки других точек разрыва нет.

Если значение правого (левого) предела в т. х₀ совпадает со значением f(x₀), то f(x) наз. непрерывной справа (слева).

Если предел f(x) справа (слева) в т. х₀ не сущ-ет, а предел слева (справа) сущ-ет и равен значению f(х₀), то говорят что ф-ия f(x) имеет в т. х₀ разрыв справа (слева). Такие разрывы наз-ют односторонними разрывами f(x) в т. х₀.

Ф-ия х®f(x) наз. непрерывной на множестве Х если она непрерывна в каждой т. х этого множества.