Арифметика пределов функций. Порядковые свойства пределов

Теорема: Все пределы в точке х₀: Пусть ф-ции f:Х®R и g:Х®R (ХÍR) таковы, что Lim f(x)=F, Lim g(x)=G, тогда

1) Lim f(x) ± Lim g(x) = F±G

2) Lim f(x)*Lim g(x) = F*G

3) Если G¹0 и g(x)¹0 Limf (x) / Lim g(x) = F/G

Доказательство:

1) "Е>0(в частности Е/2) $d’>0: -d’<х-х₀<d’ => |f(х)-F|<Е & $d”>0: -d”<х-х₀<d” => |g(х)-G|<Е

Получили "Е>0 $ 0<d=min{d’,d”}: -d<х-х₀<d =>-Е/2 - Е/2<f(х)-F+g(х)-G<Е/2 + Е/2 => |(f(х)+g(х))-(F+G)|<Е

2) Пусть посл-ть х_N®х₀ (х_N¹х₀, x_NÎX), тогда в силу определения предела по Гейне имеем: при n®¥ Lim f(x_N)=F & Lim g(x_N)=G по теореме об арифметике пределов посл-тей получаем: при n®¥ Lim f(x_N)*g(x_N)=Lim f(x_N)*Lim g(x_N)= F*G => по определению предела по Гейне при х®х₀ Lim f(x)*Lim g(x)=F*G

3) Пусть посл-ть х_N®х₀ (х_N¹х₀, x_NÎX), тогда в силу определения предела по Гейне имеем: при n®¥ Lim f(x_N)=F & Lim g(x_N)=G по теореме об арифметике пределов посл-тей получаем: при n®¥ Lim f(x_N)/g(x_N)=Lim f(x_N)/Lim g(x_N)=F/G => по определению предела по Гейне при х®х₀ Lim f(x)/Lim g(x)=F/G, G¹0 и g(x)¹0.

Порядковые свойства пределов:

Теорема: Если " хÎX: f(x)£g(x), при х®х₀ A=Lim f(x), B=Lim g(x), то A£B

Доказательство(от противного):

Пусть A>B => из определения предела следует (берем 0<Е<|A-B|/2): $d’>0: |х-х₀|<d’ => |f(x)-A|<E & $d”>0: |х-х₀|<d” => |g(х)-B|<Е.

Получили, что $ 0<d=min{d’;d”}: |х-х₀|<d => |f(x)-A|<|A-B|/2 & |g(х)-B|<|A-B|/2, учитывая что А>В и что (А-Е,А+Е)Ç(В-Е,В+Е)=Æ, получаем что для

хÎ(х₀-d, х₀+d) f(x)>g(x) - противоречие с условием.

Теорема: Если " хÎX: f(x)£g(x)£h(x) и при х®х₀ Lim f(x)=А=Lim h(x), то Lim g(x)=А

Доказательство:

"Е>0 $d’>0: |х-х₀|<d’ => A-E<f(x) & $d”>0: |х-х₀|<d” => h(х)<A+Е.

Получили, что $ 0<d=min{d’;d”}: |х-х₀|<d => A-E<f(x) & h(x)<A+E, так как " хÎX: f(x)£g(x)£h(x) => A-E<f(x)£g(x)£h(x)<A+E => A-E<g(x)<A+E

23. Непрерывность тригонометрических функций. Предел (Sin x)/x при х®0.

1) Sin x:

Lim Sin x = Sin x₀ (при х®х₀)

|Sin x-Sin x₀|=2*|Sin((x-x₀)/2)|*|Cos((x+x₀)/2)| < 2*|(x-x₀)/2|=|x-x₀| => -|x-x₀|<Sin x-Sin x₀<|x-x₀| при х®х₀ => -|x-x₀|®0 & |x-x₀|®0 => (по теореме о порядковых св-вах предела) (Sin x-Sin x₀)®0

2) Cos x:

Lim Cos x = Cos x₀ (при х®х₀)

Cos x = Sin (П/2 - x) = Sin y; Cos x₀ = Sin (П/2 - x₀) = Sin y₀

|Sin y-Sin y₀|=2*|Sin((y-y₀)/2)|*|Cos((y+y₀)/2)| < 2*|(y-y₀)/2|=|y-y₀| => -|y-y₀|<Sin y-Sin y₀<|y-y₀| при y®y₀ -|y-yo|®0 & |y-yo|®0 => (Sin y-Sin y₀)®0 => производим обратную замену: [Sin (П/2 - x)-Sin(П/2 - x₀)]®0 => (Cos x-Cos x₀)®0

3) Tg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = П/2 +2Пк, кÎZ

4) C tg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = Пк, кÎZ

Теорема: Lim (Sin x)/x=1 (при х®0), 0<x<П/2

Доказательство:

Составляем нер-во для площадей двух треугольников и одного сектора (Sсект=х*R²) откуда и получаем Sinx<x<Tgx, 0<x<П/2. => Cos x < (Sin x)/x < 1. Используем теорему о порядковых св-ах предела ф-ции: Lim Cos x£Lim (Sin x)/x£1 при x®0, 0<x<П/2. Испльзуем непрерывность Сos1£Lim (Sin x)/x£1 => Lim (Sin x)/x =1, 0<x<П/2