Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Определение: Пусть а_N некоторая числовая посл-ть и k_N-строго возрастающая посл-ть N чисел. В результате композиции ф-ций n®a_N и n®k_N получа ем посл-ть a_Kn-которая наз. подпосл-тью посл-ти a_N=>подпосл-сть - это либо сама посл-ть либо исходная посл-ть, из которой выбросили часть членов.

Теорема: Если Lim а_N=а, то и Lim а_Kn=а.

Доказательство: Вне любой Е-окрестности точки а лежит конечное число членов последовательности аn и в частности последовательности.

Доказательство: Пусть для заданного Е нашлось n₀: "n>n₀ |а_N-а|<Е, ввиду того что k_N®¥ существует и такое n’, что при всех n>n’ k_N>n₀ тогда при тех же значениях n будет верно |а_Kn-а|<Е

Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: х_N - ограничена => "n: а£х_N£b. Поделим промежуток [a,b] пополам, хотя бы в одной его половине содержится бесконечное множество членов посл-ти х_N (в противном случае и во всем промежутке содержится конечное число членов посл-ти, что невозможно). Пусть [а₁,b₁] - та половиа, которая содержит бесконечное число членов посл-ти. Аналогично выделим на промежутке [а₁,b₁] промежуток [а₂,b₂] также содержащий бесконечное число членов посл-ти х_N. Продолжая процесс до бесконечности на к -том шаге выделим промежуток [а_K,b_K]-также содержащий содержащий бесконеч ное число членов посл-ти х_N. Длина к -того промежутка равна b_K-а_K = (b-a)/2^K, кроме того она стремится к 0 при к®¥ и а_K³а_K+1 & b_K£b_K+1. Отсюда по лемме о вложенных промежутках $! с: "n а_N£c£b_N.

Теперь построим подпоследовательность:

х_N1 Î[а₁,b₁]

х_N2 Î[а₂,b₂] n₂>n₁

...

х_NKÎ[а_K,b_K] n_K>n_K-1

а£х_Nk£b. (Lim a_K=Limb_K=c из леммы о вложенных промежутках)

Отсюда по лемме о зажатой последовательности Lim х_Nk=c - ч.т.д.