Арифметика пределов

Предложение: Число а является пределом последовательности a_N если разность a_N-a является бм (обратное тоже верно)

Докозательство: Т.к. Lim a_N=a, то |a_N-a|<Е. Пусть a_N=a_N-a. |a_N|=|a_N-a|<Е

Обратное: Пусть a_N=a_N-a, т.к. a_N - бм => |a_N|£Е. |a_N|=|a_N-a|<Е

Теорема: Если Lim x_N=x, Lim y_N=y, то:

1. $ Lim (x_N+y_N) и Lim (x_N+y_N)=х+у

2. $ Lim (x_N*y_N) и Lim (x_N*y_N)=х*у

3. "n y_N¹0 & y¹0 => $ Lim (x_N/y_N) и Lim(x_N/y_N)=х/у

Доказательство:

Пусть x_N=х+a_N, a_N - бм; y_N=у+b_N, b_N - бм

1) (x_N+y_N)-(х+у)=a_N+b_N (По теореме о сумме бм: a_N+b_N - бм => (x_N+y_n)-(х+у)-бм, дальше по предложению)

2) x_N*y_N - х*у = х*a_N+у*b_N+a_N*b_N (По теоремам о сумме бм посл-тей и * бм посл-тей на огр. посл-ти получаем: x_N*y_N - х*у - бм, дальше по предл-нию)

3) x_N/y_N - х/у = (у*a_N-х*b_N) / (у*(у+b_N))= (у*a_N-х*b_N) * 1/у * 1/у_N доказательство сводится к доказательству утверждения: если у_n - сходящаяся не к 0 посл-ть, то 1/у_N тоже сходящаяся последовательность: Lim у_N=y => по определению предела получаем $ n₀: "n>n₀ |уn-у|<у/2 (Е=y/2), что равносильно неравенству: у-у/2<у_N<у/2+у, откуда получаем: |у_N|³у_N>у/2.|у_N|>у/2=>1/|у_N|<2/у => "n: 1/|у_N|£max{2/у, 1/у₁, 1/у₂,...1/у_no}

Теорема: Если х_N сходится к х, y_N сходится к у и $ n₀: "n>n₀ последовательность х_N£у_N, то х£у

Доказательство(от противного): Пусть х>у. Из опр. предела "E>0 (в частности Е<(у-х)/2): $n’: "n>n’ |x_N-x|<E и $n”: "n>n” |y_N-y|<E. Получаем "n>max{n’,n”} все члены посл-ти x_N будут лежать в Е-окрестности точки х, а все члены посл-ти у_N будут лежать в Е-окрестности точки у, причем

(х-Е,х+Е)Ç(у-Е,у+Е)=Æ. И т.к мы предположили, что х>у, то "n>max{n’,n”}: х_N>у_N - противоречие с условием => х£у.