Определение предела последовательности и его единственность

Определение: Пусть даны два множества Х и У. Если каждому элементу хÎХ сопоставлен по определенному правилу некоторый элемент уÎУ, то говорят, что на множестве Х определена функция f и пишут f:Х®У или х® (f(х)| хÎХ).

Определение: Последовательность-это ф-ция определенная на мн-ве N, со значениями во мн-ве R f:N®R. Значение такой ф-ции в (.) nÎN обозначают а_N.

Способы задания:

1) Аналитический: Формула общего члена

2) Рекуррентный: (возвратная) формула: Любой член последовательности начиная с некоторого выражаетс через предидущие. При этом способе задани обычно указывают первый член (или нсколько начальных членов) и формулу, позволющкю определить любой член последовательности через предидущие. Пример: а₁=а; а_N+1=а_N + а

3) Словесный: задание последовательности описанием: Пример: а_N = n-ый десятичный знак числа Пи

Определение: Число а называется пределом последовательности а_N, если "e>0 $ n_0: "n>n₀ выполняется неравенство |а_N-a|<e. Обозначение Lim a_N=a.

Если не существует числа а, являющегося пределом посл-ти, то говорят что последовательность расходится, если существует, то сходится (к числу а).

Геометрически существование предела последовательности означает, что любой интервал вида (а-e,а+e), называемый эпсилон-окрестностью точки а, содержит все члены последовательности а_N начиная с некоторого номера, или что то же самое, вне любой эпсилон-окрестности точки а находится ко нечное число членов последовательности а_N.

Определение: Число а назывется пределом посл-ти а_N если вне всякой окрестности точки а содержится конечное число членов последова тельности.

Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство(от противного):

Пусть последовательность а_N имеет предел а и предел с, причем а¹с. Выберем такой эпсилон, чтобы пересечение эпсилон-окрестностей точек а и с бы ло пусто. Очевидно достаточно взять эпсилон меньше | а-с |/2. Вне окрестности точки а содержится конечное число членов последовательности => в ок рестности точки с содержится конечное число членов последовательности - противоречие с условием того, что с - предел последовательности.

Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство:

Пусть последовательность а_N сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.

Замечания: 1) Обратное не верно (аn=(-1)^N, ограничена но не сходится)

2) Если существует предел последовательности а_N, то при отбрасывании или добавлении конечного числа членов предел не меняется.

Порядковые свойства пределов:

Теорема о предельном переходе: Если Lim x_N=x, Lim y_N=y, $n₀: "n>n₀ х_N£y_N, тогда x£y

Доказательство(от противного):

Пусть х>у => по определению предела $ n₀’: "n>n₀’ |х_N-х|<E(берем Е<|х-у|/2): & $ n₀”: "n>n₀” |y_N-y|<E. "n>max{n₀’, n₀”}: |х_N-х|<|х-у|/2 & |у_N-у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)Ç(х-Е,х+Е)=Æ. "n>max{n₀’, n₀”} х_NÎ(х-Е,х+Е) & у_NÎ(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: "n>max{n₀’, n₀”} х_N>y_N - противоречие с условием.

Теорема: Если $n₀: "n>n₀ a_N£b_N£c_N и $ Lim a_N=a, $ Lim c_N=c, причем a=c, то $ Lim b_N=b => a=b=c.

Доказательство: Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => c_N<(a+E) & $ n”: "n>n” => (a-E)<a_N. При n>max{n₀,n’,n”} (a-E)<a_N£b_N£c_N<(a+E), т.е. " n>max{n₀,n’,n”}=>b_NÎ(a-E,a+E)