Лемма о вложенных промежутках

Определение: Пусть а,bÎR и а<b. Числовые множества вида 1-5 - называются числовыми промежутками:

1) Mножество хÎR: а£х£b (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)

2) Mножество хÎR: а£х<b (а<х£b) - открытый справа (слева) промежуток

3) Mножество хÎR: а<х & x<b - открытый числовой луч

4) Mножество хÎR: а£х & х£b - числовой луч

5) Mножество хÎR - числовая прямая

Определение: Число b и а (если они существуют) называются правым и левым концами отрезка (далее промежутка), и его длина равна b-a

Лемма: Пусть a_N монотонно возрастает, b_N монотонно убывает, "n a_N£b_N и (b_N-a_N)-бм, тогда $! с: "n cÎ[a_N,b_N] (с Ç[a_N,b_N])

Доказательство:

a_N£b_N£b₁ a_N монтонно возрастает & a_N£b₁ => $ Lim a_N=a

a₁£a_N£b_N b_N монтонно убывает & a₁£b_N => $ Lim b_N=b

a_N£a b£b_N a_N£b_N => a£b

Lim (b_N-a_N)=b-a=0(по условию)=>a=b

Пусть c=a=b, тогда a_N£c£b_N

Пусть с не единственное: a_N£c’£b_N, с’¹с

a_N£c£b_N=>-b_N£-c£-a_N => a_N-b_N£c’-c£b_N-a_N => (По теореме о предельном переходе) => Lim(a_N-b_N)£Lim(c’-c)£Lim(b_N-a_N) => (a-b)£Lim(c`-c)£(b-a) =>

0£lim(c`-c)£0 => 0£(c`-c)£0 => c’=c => c - единственное.

Перефразировка Леммы: Пусть имеется бесконечнаz посл-ть вложенных друг в друга промежутков (промежуток 1 вложен в промежуток 2 если все точки промежутка 1 принадлежат промежутку 2: [a1,b1],[a2,b2],...,[an,bn]..., так что каждый последующий содержится в предыдущем, причем длины этих промежутков стремятся к 0 при n®¥ lim(b_N-a_N)=0, тогда концы промежутков a_N и b_N стремятся к общему пределу с (с разных сторон).