Теорема о промежуточном значении непрерывной функции

Определение: Пусть а,bÎR и а<b. Числовые множества вида 1-5 - называются числовыми промежутками:

1) Mножество хÎR: а£х£b (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)

2) Mножество хÎR: а£х<b (а<х£b) - открытый справа (слева) промежуток

3) Mножество хÎR: а<х & x<b - открытый числовой луч

4) Mножество хÎR: а£х & х£b - числовой луч

5) Mножество хÎR - числовая прямая

Теорема: Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и с - произвольное число лежащее между f(а) и f(b), тогда существует х₀Î[a,b]: f(х₀)=c.

Доказательство: g(х)=f(х)-с (g(x) - непрерывна). g(а)*g(b)<0

Поделим промежуток [a,b] пополам, если в точке деления g((а+b)/2)=0, то полагая х₀=(а+b)/2 видим что теорема доказана (g(х₀)=f(х₀)-с=0 => f(х₀)=с). Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот, для которого g(а₁)*g(b₁)<0, делим его пополам если в точке деления функция g(x) обращается в ноль => теорема доказана. Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот для которого g(а₂)*g(b₂)<0... продолжая процесс до бесконечности мы либо получим на каком-либо шаге что ф-ция g(x) обращается в ноль, что означает что теорема доказана, либо получим бесконечное число вложенных друг в друга промежутков. Для n -го промежутка [a_N,b_N] будем иметь: g(a_N)<0, g(b_N)>0, причем длина его равна b_N-a_N=(b-a)/2ⁿ®0 при n®¥. Построенная посл-ть промежутков удов летворяет условию Леммы о вложенных промежутках => $ точка x₀ из промежутка [a,b], для которой Lim a_N=Lim b_N= x₀. Покажем, что x₀-удовлетворяет требованию теоремы: g(a_N)<0, g(b_N)>0 => переходим к пределам: Lim g(a_N)£0, Lim g(b_N)³0, используем условие непрерывности: g(x₀)£0 g(x₀)³0 => g(x₀)=0 => f(х₀)-c=0 => f(х₀)=c

Следствие: Если функция f(x) непрерывна на промежутке Х, то множество У=f(Х)={f(х):хÎХ} также является промежутком (Непрерывная ф-ция перево дит промежуток в промежуток.)

Доказательство: Пусть у₁,у₂ÎУ; у₁£у£у₂, тогда существуют х₁,х₂ÎХ: у₁=f(х₁), у₂=f(х₂). Применяя теорему к отрезку [х₁,х₂]ÍХ (если х₁<х₂) и к отрезку

[х₂,х₁]ÍХ (если х₂<х₁) получаем, что у=f(с) при некотором с => У - удовлетворяет определению промежутка.