Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства

Определение: Последовательность а_N называется бесконечно малой (бм) если ее предел равен нулю ("Е>0 $ n₀: n>n₀ |а_N|<Е)

Теорема: Сумма (разность) бм последовательностей является бм последовательностью.

Доказательство: Пусть Lim a_N=Lim b_N=0, c_N=a_N+b_N, d_N=a_N-b_N. Так как вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности окрестности Е/2) лежит конечное число членов последовательности a_N, т.е. $ n’: "n>n’: |a_N|<Е/2. Аналогично $ n”: "n>n”: |b_N|<Е/2. При n>max{n’,n”} выполнены оба неравен ства |a_N|<Е/2 & |b_N|<Е/2 => при любом n> max{n’,n”} имеем: |c_N|=|a_N+b_N|£|a_N|+|b_N|<E/2 + E/2 = E => |d_N|=|a_N-b_N| £ |a_N|+|b_N|<E/2 + E/2 = E

Теорема: Произведение бм и ограниченной последовательности - бм последовательность.

Доказательство: Пусть a_N - бм посл-ть, b_N - ограниченная посл-ть z_N=a_N*b_N.

Т.к. b_N - ограниченная посл-ть, значит $ такое с: |b_N|£с¹0

Т.к. a_N - бм посл-ть, значит вне любой Е-окрестности точки 0 (в частности Е/с)лежит конечное число членов посл-ти a_N, т.е. $ n₀: "n>n₀ |a_N|<Е/с.Таким образом "n>n₀: |z_N|=|a_N*b_N|=|a_N|*|b_N|<Е/с * с=Е

Следствие: произведение бм посл-тей - тоже бм посл-ть

Теорема: Пусть a_N - бм. Если $ n’: "n>n’ последовательностьть |b_N|£a_N => b_N - бм

Доказательство: a_N - бм => $ n”: "n>n”: |a_N|<Е. Для n>=max{n’,n”} |b_N|£|a_N|<Е

Определение: Последовательность а_N называется бесконечно большой (бб) если "Е>0 $ n₀: n>n₀ |а_N|>Е)

Теорема: Если a_N - бм, то 1/a_N - бб последовательностьть, обратное тоже верно.

Доказательство:

"=>" a_N-бм=>вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности 1/Е) находится конечное число членов посл-ти, т.е. $n₀: "n>n₀ |a_N|<1/E =>1/|a_N|>Е.

"<=" 1/|a_N| - бб последовательность => "Е>0 $ n₀: "n>n₀ 1/|a_N|>1/Е => |a_N|<Е

Теорема: Пусть a_N - бб. Если $ n’: "n>n’ последовательность b_N³|a_N| => b_N - бб.

Доказательство: a_N - бб => $ n”: "n>n” |a_N|>Е. Для n>max{n’,n”} b_N³|a_N|>Е