Теорема Дедекинда о полноте R

Пусть 1) 0¹АÍR; 2) " aÎA, " bÎB: а<b; 3) АÈB=R, тогда $! сÎR: " aÎA, " bÎB: а£с£b

Замечания: 1) для Q и I не выполняется (между двумя иррациональными всегда одно рациональное следует из теоремы о плотности Q в R)

2) А называют нижним множеством сечения (нижний класс), В называют верхним множеством сечения (верхний класс)

Доказательство:

" aÎA, " bÎB: а<b => A ограничено сверху => $ SupA=m => "bÎB: b³m => B ограничено снизу =>$ InfB=n, m£n

Докажем, что m = n:

Пусть m<n, тогда из теоремы о плотности Q в R следует, что $ сÎQ: m<c<n => cÏА & cÏВ - невозможно по свойству 3 отсюда и из того, что m£n

следует, что m=n если обозначим m=n через c, то получим а£с£b

Докажем, что с единственное(от противного):

Пусть $с’¹с,с’>с (с’<с), так как c=n=InfB=m=SupA=>по опр-нию. "с’>с (с’<с) найдется такое b(a), что b<c’ (a>c’)-противоречие с "aÎA, "bÎB: а£с£b

Лемма о зажатой последовательности (Лемма о двух милиционерах)

Если $n₀: "n>n₀ x_N£y_N£z_N и $ Lim x_N=x, $ Lim z_N=z, причем x=z, то $ Lim y_N=y => x=y=z.

Доказательство: "n>n₀ x_N£y_N£z_N

Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ x_NÎ(х-Е,х+Е) & $ n”: "n>n” z_NÎ(х-Е,х+Е) => "n>max{n₀,n’,n”} y_NÎ(x-E,x+E)