![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Векторным произведением векторов и
называется вектор
, который определяется следующими условиями:
1) Его модуль равен
где
- угол между векторами
и
.
2) Вектор перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами
и
.
3) Вектор направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы
и
, кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать против часовой стрелки (см. рисунок).
Векторное произведение векторов и
обозначается символом
:
(25)
или
(26)
Основные свойства векторного произведения:
1) Векторное произведение равно нулю, если векторы
и
коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.
2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный (см. рисунок):
Векторное произведение не обладает свойством переместительности.
9) Площадь параллелограмма. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов. для коллинеарности двух векторов и
необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами
или
.
Перейдем к координатной форме полученного условия коллинеарности двух векторов.
Пусть вектор задан в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости и имеет координаты
, тогда вектор
имеет координаты
(при необходимости смотрите статью операции над векторами в координатах). Аналогично, если вектор
задан в прямоугольной системе координат трехмерного пространства как
, то вектор
имеет координаты
.
Следовательно, для коллинеарности двух ненулевых векторов и
на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями:
или
.
Для коллинеарности двух ненулевых векторов и
в пространстве необходимо и достаточно, чтобы
или
.
Получим еще одно условие коллинеарности двух векторов, основанное на понятии векторного произведения векторов и
.
Если ненулевые векторы и
коллинеарны, то по определению векторного произведения
, что равносильно равенству
. А последнее равенство возможно лишь тогда, когда векторы
и
связаны соотношениями
или
, где
- произвольное действительное число (это следует из теоремы о ранге матрицы), что указывает на коллинеарность векторов
и
. Таким образом, два ненулевых вектора
и
коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.
Дата публикования: 2014-12-08; Прочитано: 502 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!