Линейные комбинации векторов

Пусть – векторы из некоторого линейного пространства.

Линейной комбинацией векторов , называется выражение вида: , где – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.
Линейная комбинация дает в результате сложения векторов, умноженных на число , также вектор. Примеры:
1. 2 (2,5,1) – 4 (1,3,0) + (0,0,1) = (0,-2,3);
2. 3 (5,4) – 5 (-1,2) +2 (-10,-1) = (0,0).
Последний пример показывает, что в некоторых случаях можно в результате линейной комбинации векторов получить нулевой вектор при ненулевых коэффициентах (при всех нулевых коэффициентах мы всегда получим ).. Система векторов называется линейно зависимой, если из этих векторов можно составить нулевую линейную комбинацию, когда хотя бы один из коэффициентов ее отличен от нуля. Так, в предыдущем примере векторы (5,4), (-1,2), (-10,-1) линейно зависимы.
Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один вектор (при котором стоит отличный от нуля коэффициент) можно выразить линейно через остальные.

Если , то .
И наоборот, если вектор представлен в виде линейной комбинации остальных векторов , то он в совокупности с ними дает систему линейно зависимых векторов, т.к. в комбинации коэффициент .Система векторов называется линейно независимой, если из этих векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, в которой хотя бы один из коэффициентов был бы отличен от 0. Т.е. векторы будут линейно независимы, если равенство возможно лишь при всех . Очевидно, ни один из этих векторов нельзя выразить через остальные.

Коллинеарность и компланарность векторов.

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости^[1]. Свойства компланарности

Пусть — векторы пространства . Тогда верны следующие утверждения:

· Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.

· Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

· Смешанное произведение компланарных векторов . Это — критерий компланарности трёх векторов.

· Компланарные векторы — линейно зависимы. Это — тоже критерий компланарности.

· Существуют действительные числа такие, что для компланарных , за исключением случаев или . Это — переформулировка предыдущего свойства и тоже критерий компланарности.

· В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора образуют базис. То есть любой вектор можно представить в виде: . Тогда будут координатами в данном базисе.

Два ненулевых (не равных 0) вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м синоним — «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»). Обозначения

· Коллинеарные векторы:

· Сонаправленные векторы:

· Противоположно направленные векторы: