![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Скаля́рное произведе́ние (в зарубежной литературе - scalar product, dot product, inner product) — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.
Обычно используется одно из следующих обозначений:
,
,
,
Скалярным произведением в векторном пространстве над полем
комплексных (или
вещественных) чисел называется функция
для элементов
, принимающая значения в
(или
), определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:
1. для любых трех элементов и
пространства
и любых чисел
из
(или
) справедливо равенство
(линейность скалярного произведения по первому аргументу);
2. для любых и
справедливо равенство
, где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);
3. для любого имеем
, причем
только при
(положительная определенность скалярного произведения).
Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.
Заметим, что из п.2 определения следует, что . Поэтому п.3 имеет смысл, несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения.
Свойства
· теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения:
· Угол между векторами:
· Оценка угла между векторами:
в формуле знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение > 0, если угол между векторами острый, и < 0, если угол между векторами тупой.
· Проекция вектора на направление, определяемое единичным вектором
:
,
· условие ортогональности[2] (перпендикулярности) векторов и
:
· Площадь параллелограмма, натянутого на два вектора и
, равна
Дата публикования: 2014-12-08; Прочитано: 265 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!