Понятие базиса. Разложение вектора по базису

Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов

Базисом в пространстве Rⁿ называется любая система из n -линейно независимых векторов. Каждый вектор из Rⁿ, не входящих в базис, можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. разложить по базису.
Пусть – базис пространства Rⁿ и . Тогда найдутся такие числа λ₁, λ₂, …, λ_n, что .
Коэффициенты разложения λ₁, λ₂, …, λ_n, называются координатами вектора в базисе В. Если задан базис, то коэффициенты вектора определяются однозначно.

Замечание. В каждом n -мерном векторном пространстве можно выбрать бесчисленное множество различных базисов. В различных базисах один и тот же вектор имеет различные координаты, но единственные в выбранном базисе. Пример. Разложить вектор по базису .
Решение. . Подставим координаты всех векторов и выполним действия над ними:

Приравняв координаты, получим систему уравнений:

Решим ее: .
Таким образом, получим разложение: .
В базисе вектор имеет координаты .