Метод Ньютона для кратних коренів

Швидкість збіжності методу Ньютона падає, якщо рівняння має кратні корені. Разом з тим квадратичну збіжність можна зберегти, якщо побудувати дещо іншу ітераційну формулу, яка базується на наступному відомому факті. Якщо функція має деякий корінь кратності , то її похідна має цей самий корінь кратності .

У більшості випадків кратність коренів невідома, тому для збереження квадратичної збіжності на базі заданого рівняння з кратним коренем розглядають рівняння

, (2.21)

яке має корінь кратності одиниця, незалежно від його кратності у вихідному рівнянні .

Як відомо, для рівняння ітераційний процес має вигляд

,

Оскільки , то .

Враховуючи одержану рівність дістанемо формулу методу Ньютона для кратних коренів, яка має вигляд

, (2.22)

Приклад 6. Користуючись методом Ньютона для кратних коренів уточнити корінь рівняння , який знаходиться на відрізку . Неважко переконатись, що це є корінь , який має кратність два.

Лістинг відокремлення кореня та обчислення його методом Ньютона, реалізованого в пакеті Mathcad, наведено на рис. 11.

Рис. 11.