Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Для прискорення збіжності ітераційного процесу методу простої ітерації (2.6) функцію можна вибрати у вигляді
.
У цьому випадку чергове наближення буде знаходитись за формулою
, (2.17)
Формулу (2.17) можна отримати з рівняння дотичної до графіка функції в точці , де – -е наближення до кореня рівняння (рис.9).
Рис. 9.
Як відомо, рівняння дотичної має вигляд
,
де – довільна точка на дотичній. Поклавши в рівнянні дотичної (точка перетину дотичної з віссю ОХ) дістанемо формулу (2.17).
Достатні умови збіжності методу Ньютона дає така теорема.
Теорема. Нехай на відрізку функція має неперервні із сталими знаками похідні , і . Тоді існує такий окіл кореня рівняння , що для будь-якого послідовність , обчислена за формулою (2.17), збігається до кореня .
Доведення. Для доведення збіжності послідовність до кореня досить показати, що похідна задовольняє умов для будь-якого , і взяття з околу кореня .
Для похідної маємо вираз
.
Оскільки неперервна і відмінна від нуля на , то існують такі додатні і , що і для будь-якого значення .
Тоді .
З неперервності функції випливає, що існує окіл кореня , на якому функція задовольняє нерівність , внаслідок чого, для будь-якого . А це і є достатня умова збіжності ітераційного процесу. Теорему доведено.
Припустивши, що в околі кореня і неважко одержати оцінку швидкості збіжності обчислень за формулою (2.17). Для чого в околі кореня рівняння розкладемо функцію в ряд Тейлора з урахуванням третього члена, що визначає нелінійність апроксимації:
, . (2.18)
Врахувавши, що рівність (2.18) можна перетворити до вигляду (з врахуванням (2.17)):
.
Оскільки і , то з умови, що , одержуємо квадратичну залежність похибки на послідовних ітераціях:
, де . (2.19)
Таким чином метод Ньютона має квадратичну збіжність
, , (2.20)
де .
Приклад 5. Користуючись методом Ньютона для простих коренів уточнити корінь рівняння , який знаходиться на відрізку .
Лістинг відокремлення кореня та обчислення його методом Ньютона, реалізованого в пакеті Mathcad, наведено на рис. 10.
Рис. 10.
Дата публикования: 2014-12-11; Прочитано: 268 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!