Метод простої ітерації

Метод простої ітерації полягає в тому, що рівняння (2.1) записують у канонічному вигляді:

, (2.5)

а ітерації здійснюються за правилом

, (2.6)

де початкове наближення задається з відрізка , який містить корінь рівняння.

Якщо процес обчислень збігається до розв’язу рівняння (2.5), тобто , то припустивши, що функція визначена, неперервна і диференційована на відрізку, який містить шуканий корінь, можна встановити умову збіжності ітераційного процесу (зв’язок між похибками обчислень на двох сусідніх ітераціях):

, . (2.7)

Із рівності (2.7) випливає достатня умова збіжності методу простої ітерації, а саме, буде менше за умови

. (2.8)

Якщо покласти , то достатня умова збіжності методу простої ітерації має вигляд . Чим менше значення , тим швидше збігається ітераційний процес.

У випадку, коли в околі кореня похідна задовольняє умову похибки і будуть мати однакові знаки і збіжність до буде монотонною (рис.6, а). Якщо ж виконується умова – , похибки і матимуть різні знаки і наближення буде збігатися до , коливаючись біля (рис.6, б).

У випадку, коли , похибка за абсолютним значенням буде більшою за , і наближення буде знаходитись далі від розв’язку ніж , тобто процес буде розбіжний (рис.6, в, г).

Рис. 6. Можливі варіанти збіжності ітерацій: а) – монотонна збіжність;

б) – коливальна збіжність; в) – монотонна розбіжність; г) – коливальна розбіжність.

Зауважимо, що коли , то збіжність ітерацій замість лінійної, обумовленої виразом (2.7), стає нелінійною, зокрема квадратичною. Це має місце в методі Ньютона, який розглянемо пізніше.

Оцінювання глобальної похибки зручно виконувати на основі значень локальної похибки, тобто за значеннями наближень, отриманих на сусдніх ітераціях за аналогією з формулою (2.7). Для цього формулу (2.7) запишемо у вигляді:

,

або

.

Звідки отримуємо оцінку

, (2.9)

де .

Якщо обчислення починати від початкового значення , то для поточної похибки на -й ітерації згідно з формулами (2.7) і (2.9) можна одержати оцінку

. (2.10)

Приклад 3. Користуючись методом ітерацій уточнити корінь рівняння , який знаходиться на відрізку .

Лістинг відокремлення кореня та обчислення його методом ітерацій, реалізованого в пакеті Mathcad, наведено на рис. 7.

Рис. 7

Якщо покласти , , то оцінку (2.10) можна записати у вигляді

, (2.11)

Якщо похибка обчислення кореня рівняння не повинна перевищувати наперед заданого значення , то згідно з формулою (2.11) можна знайти необхідну кількість ітерацій

(2.12)

У тих випадках, коли не вдається явно розв’язати вихідне рівняння відносно невідомої , так щоб у рівнянні (2.5) функція задовольняла умову збіжності (2.8), ітерації можна виконувати за правилом:

(2.13)

Тут допоміжна функція не повинна змінювати свій знак на відрізку, де шукають корінь. Зокрема, якщо , одержимо метод релаксації:

(2.14)

для якого і умова збіжності має вигляд

, (2.15)

Якщо в деякому околі кореня виконуються умови

, ,

то метод релаксації збігається в разі . Оптимальне значення параметра в такому випадку має вигляд

. (2.16)

Приклад 4. Користуючись модифікованим методом ітерацій уточнити корінь рівняння , який знаходиться на відрізку .

Лістинг відокремлення кореня та обчислення його методом ітерацій, реалізованого в пакеті Mathcad, наведено на рис. 8.

Рис. 8.