Принцип замены эквивалентных

Если функции α(х) и β(х) являются бесконечно малыми при х ® а, и если α(х) ~ γ(х), β(х) ~ η(х), то .

Пример 5. Вычислить предел, используя принцип замены эквивалентных:

.

Пример 6. Найти .

Решение. Заменим a^x – 1 ~ x · ln a. Тогда .

Определение 3. Если отношение двух бесконечно малых величин само бесконечно мало (), то α(х) называется величиной более высокого порядка малости, чем β(х), а β(х) – величиной более низкого порядка малости, чем α(х).

В этом случае записывают: , где символ «о» (символ Ландау)называется «о»-малое.

Из определения предела для следует, что в некоторой δ-окрестности точки а, или . Говорят, что α(х) имеет более низкий порядок роста, чем β(х). Тогда запишем последнее выражение в виде . Рассматривая функцию α(х) как бесконечно малую более высого порядка по сравнению с β(х) при х → а, можем пренебречь знаками обеих функций: изменение знака не приводит к изменению порядка функции. Поэтому модули можно снять, и тогда: .

Пример 7. , поэтому х = о (4) при х → 0.

Свойства символа «о»-малое

1. .

2. , где с = const ≠ 0.

3. Если , то .

4. .

5. Если , то . Последняя запись означает, что к функции β(х) прибавляется некоторая другая функция, о которой известно только то, что она является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с β(х).

Если две различные функции α(х) и β(х) удалось представить в виде

,

,

то это не означает, что α(х) = β(х), так как под видом о (γ(х)) в этих двух случаях могут скрываться разные бесконечно малые функции.

С использованием символа «о» запись для эквивалентных можно представить в виде асимптотического равенства, например:

sin(x) = x + o (x) при х → 0,

(1 + х) ^p – 1 = px + o (x) при х → 0.

Пример 6. Докажем последнее асимптотическое равенство, т.е. надо показать, что .

Решение. Положим (1 + х) ^p – 1 = y. Очевидно, что y → 0 при х → 0.

Тогда (1 + х) ^p = y + 1,

откуда

p ·ln(1 + х) = ln(y + 1).

Поэтому