Бесконечно малые величины

Определение. Функция называется a(х) называется бесконечно малой величиной в какой-то точке a, если она имеет нулевой предел в этой точке: .

Пример 1. α(x) = 4 x – 20 – бесконечно малая величина в точке х = 5, так как при х ®5 будет .

Пример 2. β(x) = ln(3 x – 8) – бесконечно малая величина в точке х = 3, так как при х ®3 будет .

Зная определение предела функции при х ® а и при х ®∞, дадим развернутое определение бесконечно малой величины с помощью кванторов:

при х ® а:

,

при х ® ∞:

.

Существует связь бесконечно малой величины с функцией, имеющей конечный предел: функция f (x) в какой-то точке а имеет конечный предел b тогда и только тогда, если она вблизи этой точки а отличается от числа b на бесконечно малую функцию, т.е.

ó f (x) = b + α(x), где .

Пример 3. α(x)=4 x –20 – бесконечно малая величина в точке х = 5, а функция f (x)= х ²+3 в этой же точке х =5 имеет конечный предел: .

Тогда при х ®5 будет f (x)= b +α(x) ó х ²+3=28+4 x –20=8+4 x.