Первый и второй замечательные пределы

1-й замечательный предел: .

Означает, что sin х ~ х (эквивалентные бесконечно малые) при достаточно малых х, т.е. при х ®0.

Используется при вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции.

Пример 1. Найти .

Решение. При подстановке x =0 получим неопределенность типа [0/0]. Чтобы воспользоваться 1-м замечательным пределом, заменим , умножим числитель и знаменатель на 3 х и 5 х и используем свойства пределов:

.

2-й замечательный предел: .

Если положить , то 2-й замечательный предел запишется в виде .

Число e – иррациональное; 2 < e < 3 (более точно e ≈ 2,718281…).

Пример 2. Найти .

Решение. Обозначим x =2 t. Очевидно, что t ®¥ при x ®¥. Имеем .

Согласно теореме о пределе сложной функции, 2-й замечательный предел можно записать в виде: .

или, если положить , то .

Пример 3. Найти предел

Решение.