Бесконечно большие величины

Определение. Функция f (x) называется бесконечно большой величиной в какой-то точке a прикосновения множества допустимых значений х, если для любого сколь угодно большого числа М >0 можно указать такую окрестность в точке a, в которой при всех допустимых x выполняется неравенство | f (x)|> M.

Иногда говорят, что бесконечно большой величиной называется переменная величина, абсолютное значение которой неограниченно возрастает. Однако неограниченная функция не обязательно бесконечно большая. Например, функция х sin х – неограниченная (ее значения могут быть как угодно большими), но не является бесконечно большой при х ®∞, так как с ростом х функция все время колеблется.

Предел бесконечно большой величины равен бесконечности: .

Зная определение предела функции при х ® а и при х ®∞, дадим развернутое определение бесконечно большой величины с помощью кванторов:

при х ® а:

,

при х ® ∞:

.

Пример. Функция у = tg x есть бесконечно большая величина при : .