 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Основные свойства пределов (теоремы о пределах)
|
|
1. Функция не может иметь более одного предела.
Докажем это свойство. Предположим противное, т.е. что функция f (x) имеет два разных предела b и с:
, 
, b ≠ c.
Поскольку утверждения «число b есть предел величины у» и «разность у – b есть бесконечно малая величина» равнозначны, то величины
α(x) = f (x) – b, β(x) = f (x) – c
бесконечно малы при х → а. Вычитая почленно эти равенства, получим
α(x) – β(x) = с – b ≠ 0,
что невозможно, поскольку переходя в этом равенстве к пределу при х → а, имеем: 
. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно.
2. Предел постоянной величины y = с есть само число с: lim с = с.
Пусть y, …, z, u, v – функции, для которых существуют пределы в точке а (не исключаем случая а = ∞).
3. Предел алгебраической суммы (т.е. сумма или разность) конечного числа функций y, u, ..., z равен такой же сумме пределов этих функций:
lim(y ± u ±....± z) = lim y ± lim u ±....± lim z;
4. Предел произведения конечного числа функций y, u,..., z равен произведению пределов этих функций:
lim(y · u · ... · z) = lim y ·lim u · ... ·lim z.
В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е.
5. Предел частного равен частному пределов:
.
Если предел делителя равен нулю (limj = 0), аlim u = с ≠ 0, то запись 
следует понимать в том смысле, что 
. Таким образом, будем считать, что 
.
Аналогичные записи можно применять и для односторонних пределов:
Пример 1. 
.
Если lim u =0 и limj=0, теорема неприменима, так как выражение 
является неопределенным. Но теорема остается верной. «Сокращать» на нуль и писать 1 вместо нельзя. Этот символ закрывает прямой путь подстановки и заставляет искать путь раскрытия этой неопределенности (например, с помощью сокращения общих множителей).
6. Пусть y = f (u), u =φ(x). Тогда y = f (φ(x)) – сложная функция.
Если 
, 
, то предел сложной функции
.
7. Если lim f (x) = b > 0, lim g (x)= c, то имеет место соотношение
lim(f (x)) g (x) = (lim(f (x))lim g (x) = bc.
8. Если в некоторой окрестности точки а (окрестностью точки ∞ считаем множество достаточно больших х) выполняется нестрогое неравенство f (x)≤ g (x), то для соответствующих пределов выполнено нестрогое неравенство:
.
(Заметим, что если в окрестности точки а выполняется строгое неравенство f (x)< g (x), то утверждение теоремы сохраняет свою силу, так как из строгого неравенства в пределе получается, вообще говоря, нестрогое).
9. Если в некоторой окрестности точки а функция f (x) заключена между двумя функциями и (х) и v (x), имеющими одинаковый предел b при х → а, то функция f (x) имеет тот же предел b:
Свойства пределов облегчают их вычисление.
Пример 2. Найти предел функции 
при x ®1.
Решение. Воспользуемся свойствами пределов и найдем отдельно пределы числителя и знаменателя:
=7∙1-4∙1+2=5,
Применяя свойство 3, получим предел дроби: 
.
Непосредственное применение свойств пределов сразу привело к получению ответа.
На практике такие случаи встречаются крайне редко, а потому, прежде чем применять теоремы о пределах, приходится тождественно преобразовывать данную функцию.
Пример 3. Найти предел функции 
при x ®¥.
При этом и числитель, и знаменатель также стремятся к бесконечности. Символически этот случай обозначают [¥/¥] и называют «неопределенностьютипа [¥/¥]». Очевидно, что непосредственно применить теорему о пределе частного здесь нельзя. Для раскрытия неопределенности преобразуем предварительно данную дробь, разделив и числитель, и знаменатель на х 3 (старшую степень знаменателя):
Величины 
– бесконечно малые при x ®¥, и их пределы равны нулю. Итак, предел функции у равен нулю, следовательно, при x ®¥ у – бесконечно малая функция.
Пример 4. Найти 
.
Решение. Вновь получили неопределенность типа [¥/¥].
Применим только что использованный прием, и числитель, и знаменатель поделим на х 5 (старшую степень числителя):
.
Предел числителя в полученной дроби равен 4, а предел знаменателя равен нулю, знаменатель при x ®¥ - бесконечно малая величина. Вся дробь является величиной, обратной бесконечно малой, т.е. бесконечно большой, и ее предел равен бесконечности.
Пример 5. Найти 
. Решение:
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 2244 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
