Свойства бесконечно малых величин

1. Сумма бесконечно малых величин бесконечно мала: α(x) = α₁(x) + α₂(x).

Пример 3. α(x) = 4 x – 20 и β(x) = ln(3 x – 14) – бесконечно малые величины в точке х =5.

Тогда при х ®5 будет .

2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (в том числе на постоянную или на другую бесконечно малую) бесконечно мало: , где . Здесь f (x) – ограниченная.

Функция f (x) называется ограниченной на заданном множестве значений ее аргумента X, если можно подобрать такую ограничивающую константу m >0, что при всех значениях х є X выполняется | f (x)|≤ m.

Пример 4. α(x) = 4 x – 20 – бесконечно малая величина в точке х =5, а f (x)=(3 x – 14) ограничена в окрестности этой точки х є(4; 6) числом m =4 (так как 3·6-14=4). Тогда в точке х =5 произведение α(x)· f (x) – бесконечно малая величина, т.е. .

3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, имеющую ненулевой предел, - бесконечно мало: ,

т.е. , где .