Метод разделения переменных Фурье. Задачи для прямоугольника и кольца

6.4.1. Задача Дирихле для прямоугольника с однородной правой частью и с однородными условиями на противоположных сторонах.

(12)

Задача Дирихле (первого рода) для уравнения Лапласа сформулированная в таком виде позволяет принять решение в виде функции разделенных переменных

(13)

откуда следует система ЛОДУ для первого набора собственных функций

(14)

и для второго набора

(15)

где постоянные интегрирования в выражении «общего» решения

(16)

определяются из оставшихся краевых условий, представленных рядами Фурье по собственным функциям

(17)

6.4.2. Задача Дирихле для прямоугольника с неоднородной правой частью, представимой разложением Фурье, и с однородными условиями на противоположных сторонах.

(18)

Представляя решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в виде ряда Фурье по собственным функциям

(19)

для составляющих этого ряда имеем ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

(20)

и «общее» решение представляется выражением

(21)

где постоянные интегрирования определены системой алгебраических уравнений, составленным по оставшимся краевым условиям

(22)

6.4.3. Задача для прямоугольника с неоднородной правой частью и неоднородными условиями на противоположных сторонах

(23)

где все заданные функции представимы соответствующими рядами Фурье

(24)

Задача Дирихле (первого рода) для уравнения Пуассона в сформулированном в виде введением новой искомой функции выражением

(25)

сведена к предыдущей

(26)

с краевыми условиями

(27)

здесь также заданные функции представимы соответствующими рядами Фурье

(28)

Представляя новую искомую функцию рядом Фурье, компоненты которого есть решения неоднородного ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

что дает

(29)

И, окончательно, «общее» решение в виде ряда с неопределенными коэффициентами имеем в форме

(30)

где постоянные интегрирования определяются из оставшихся краевых условий

(31)

И таким образом задача Дирихле для УрЧП Пуассона для прямоугольника при неоднородных краевых условиях дается в одинарных тригонометрических рядах Фурье.