Порядок.Линейность

Порядок старшей производной функционального оператора - функция определяет порядок УрЧП.

Если функциональное выражение содержит искомую функцию и все ее производные в первой степени,то УрЧП- линейное,

в противном случае – нелинейное.

Линейное УрЧП первого порядка содержит производные только первого порядка и коэффициенты - функции независимых переменных

(2)

Линейное УрЧП второго порядка содержит производные первого и второго порядков и коэффициенты , - функции независимых переменных

(3)

Задать линейное УрЧП – это задать коэффициенты левой части и правую часть уравнения в области .

УрЧП называется однородным, если правая часть его равна нулю, в противном случае – неоднородным.

Если коэффициенты левой части УрЧП постоянные числа, то уравнение называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами.

(4)

(5)

Каноническая форма линейного УрЧП второго порядка с постоянными коэффициентами содержит минимальное число производных второго порядка (преобразованием исходной системы координат достигается таким образом, чтобы в новой системе коэффициенты при вторых несмешанных производных равнялись нулю)

(6)

где новые коэффициенты имеют выражения

-коэффициенты при первых производных

-коэффициенты при вторых производных

1.1.1. Характеристики УрЧП. Кривые , на которых новые коэффициенты равны нулю – называются характеристиками. Дифференциальные уравнения характеристик

-для гиперболических (две различные характеристики с действительными показателями)

-для эллиптических (две различные характеристики с комплексно – сопряженными показателями)

-для параболических (одна характеристика с одним действительным показателем)