Понятие евклидова пространства

Опр. Линейное пространство называется евклидовым, если на нем введена операция скалярного произведения, ставящая в соответствия любым векторам х и у Є L число x × y, обладающее (удовлетворяющее) следующим свойствам:

1° x × y= y × x

2° (lx) y= l(xy)

3° x (y + z)= xy + xz

4° x × x ³ 0,причем скалярный квадрат x × x= 0, х= 0

В Евклидовых пространствах можно ввести понятие длины вектора│j│= и угол между векторами cos j =

Нужно показать, что ïcos j ï£ 1 для этого докажем неравенство Коши - Ьуняковского (Шварца):

0£│a × b│£│a││b│

Док-во: Рассмотрим скалярный квадрат (a- lb)(a- lb)= a × a- la × b- l a × b + l²b× b= │a│²- 2la × b+ l²│b│²³ 0 как скалярный квадрат.

Последнее неравенство рассмотрим как квадратное относительно l.

l²│b│²- 2abl + │a│²³ 0

Дискриминант D£ 0, D= b²- 4ac= (-2ab)²- 4│b│²│a│²£ 0

4(ab) ²- 4│b│²│a│²£ 0 ê: 4

(ab) ²£ │b│²│a│²

Извлекаем корень

0£│a × b│£│a││b│

На основании неравенства Коши - Буняковского определение cos угла между векторами Евклидова пространства корректно.

Замечание: Евклидово пространства размерности n принято обозначать Eⁿ,

E²- евклидово пространство всех векторов на плоскости, E³- в пространстве.